• Очень необычное задание • Сумма катетов прямоугольного треугольника равен 12 см. Какими должны быть катеты, чтобы площадь квадрата, построенного на его гипотенузе, была наименьшей?
Решение.
Пусть один из катетов прямоугольного треугольника имеет длину x м, тогда второй катет (12-х) м, а площадь квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника равна квадрату гипотенузы, то есть S = x2 + (12-x) 2 = ...
Продолжите решения задачи и укажите длину менее катета треугольника в сантиметрах, если катеты имеют равную длину - укажите полученное число.
2)
sinA =5,25/14 (геом определение синуса)
x/sinA =2*8 (т синусов) => x =16*5,25/14 =6
3)
x+3 =y+2 (описанный ч-к) => y-x=1
Диагональ по т косинусов; cos120= -0,5; cos60=0,5
x^2 +y^2 +xy =9 +4 -2*3*2*0,5 =7
(x-y)^2 =7 -3xy => 1 =7 -3xy => xy=2
(x+y)^2 =7 +xy =9 => x+y=3
4)
sinB =sin(45+30) =√2/2 *√3/2 + √2/2 *1/2 =(√6 +√2)/4
2/sin45 =AC/sinB (т синусов) => AC =2√2(√6 +√2)/4 =√3 +1
√k +1 =√3 +1 => k=3
5)
AB=a, AD=b
P =2(a+b) => a+b =9
S =ab sinA => ab =20
a^2 +b^2 =(a+b)^2 -2ab =81-40 =41
cosA = −√(1-sinA^2) = −3/5 (тупой угол)
BD^2 =a^2 +b^2 -2ab*cosA (т косинусов) =41 +40*3/5 =65
1) докажем, что стороны равны.
AB^2 = (4-(-1))^2 + (6-5)^2 = 26
AB = sqrt (26)
BC^2 = (3-4)^2 + (1-6)^2 = 26
BC = sqrt(26)
CD^2 = (-2-3)^2 + (0-1)^2 = 26
CD = sqrt (26)
DA^2 = (-1-(-2))^2 + (5-0)^2 = 26
DA = sqrt(26)
AB = BC = CD = DA = sqrt (26)
Отлично, теперь докажем, что диагонали делятся пополам точкой пересечения.
2) найдем середины диагоналей (или их точку пересечения):
Xac = (Xa + Xc)/2 = (-1+3)/2 = 1
Yac = (Ya + Yc)/2 = (5+1)/2 = 3
Xbd = (Xb + Xd)/2 = (4-2)/2 = 1
Ybd = (Yb + Yd)/2 = (6+0)/2 = 3
Итак, точка пересечения диагоналей общая, стороны равны. Четырехугольник - ромб.