Проведем МА⊥α и МВ⊥β. МА = 12 - расстояние от М до α, МВ = 16 - расстояние от М до β.
Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С. МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а. МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а. Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒ а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла; а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.
Вариант решения ( можно вычислять стороны, можно обойтись без вычислений )
ответ: tg∠АОВ=1
Объяснение: Соединим точки А и В. В получившемся треугольнике АОВ «пристроим» к сторонам АО и АВ прямоугольные треугольники. Они равны по двум катетам. Следовательно, АО=АВ, треугольник АОВ - равнобедренный.
К стороне ОВ "пристроим" прямоугольный треугольник. В ∆ ОВС МН - средняя линия. Н - середина ОВ. АН=ВН
Треугольники АКН и ВМН равны по двум катетам. => АН=ВН=ОН.
tg∠АОВ=1=АН:НО=1.
------------
Ясно, что все эти "пристроим" Не обязательно чертить, а сделать мысленно.
МА = 12 - расстояние от М до α,
МВ = 16 - расстояние от М до β.
Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С.
МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а.
МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а.
Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒
а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла;
а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.
МАСВ - прямоугольник, АС = МВ = 16.
Из прямоугольного треугольника АМС по теореме Пифагора:
МС = √(МА² + АС²) = √(16² + 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20
Вариант решения ( можно вычислять стороны, можно обойтись без вычислений )
ответ: tg∠АОВ=1
Объяснение: Соединим точки А и В. В получившемся треугольнике АОВ «пристроим» к сторонам АО и АВ прямоугольные треугольники. Они равны по двум катетам. Следовательно, АО=АВ, треугольник АОВ - равнобедренный.
К стороне ОВ "пристроим" прямоугольный треугольник. В ∆ ОВС МН - средняя линия. Н - середина ОВ. АН=ВН
Треугольники АКН и ВМН равны по двум катетам. => АН=ВН=ОН.
tg∠АОВ=1=АН:НО=1.
------------
Ясно, что все эти "пристроим" Не обязательно чертить, а сделать мысленно.