1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
AD = BC.
2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).
1) Так как в задании не указано конкретное ребро, то приводим расчёт длин всех рёбер.
Например, АВ = √((хВ - хА)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²).
Остальные аналогично.
Векторы Δx Δy Δz Сум.квадр. Длины
АВ 4 -6 4 68 8,246211251
ВС 0 5 -2 29 5,385164807
АС 4 -1 2 21 4,582575695
АД 3 2 7 62 7,874007874
ВД -1 8 3 74 8,602325267
СД -1 3 5 35 5,916079783 .
2) Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 0 y - 7 z - 1
4 - 0 1 - 7 5 - 1
4 - 0 6 - 7 3 - 1
= 0
x - 0 y - 7 z - 1
4 -6 4
4 -1 2
= 0
(x - 0) -6·2 - 4·(-1) - (y - 4)·2 - 4·4 + (z - 4)·(-1) - (-6)·4 = 0 ,
(-8) x - 0 + 8 y - 7 + 20 z - 1 = 0 ,
- 8x + 8y + 20z - 76 = 0 , разделим на (-4),
2x - 2y - 5z + 19 = 0.
3) Прямая, проходящая через точку Д и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C).
(x -3)/2 = (y - 9)/(-2) = (z - 8)/(-5).
4) Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения AB x AC:
Векторное произведение:
i j k
4 -6 4
4 -1 2 =
=i((-6)·2-(-1)·4) - j(4·2-4·4) + k(4·(-1)-4·(-6)) = -8i + 8j + 20k
S = (1/2)√((-8)² + 8² + 20²) = (1/2)√528 ≈ 11,489.
5) V = (1/6)*(AB x AC) * AD.
Определитель матрицы равен:
∆ = 4*((-1)*7-2*2)-4*((-6)*7-2*4)+3*((-6)*2-(-1)*4) = 132.
Тогда V = 132/6 = 22 куб.ед.
1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
AD = BC.
2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).