Один из углов прямоугольного треугольника равен 600, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу.С дано и чертежем надо

Круг с центром О, диаметр АВ=2ОА=2R
Третья касательная касается круга в точке Н.
Т.к. отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны, то СА=СН и ДВ=ДН
Получается, что круг вписан в ∠АСД и в ∠СДВ, а если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, т.е. СO - биссектриса ∠АСД.и ДО - биссектриса ∠СДВ.
Также СO - биссектриса ∠АОН и ДО - биссектриса ∠ВОН.
∠АОН и ∠ВОН - смежные, значит СО⊥ДО
В прямоугольном ΔСОД ОН- высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе СД (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания), значит ОН²=СН*ДН=СА*ДВ, ч.т.д

В трапеции треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами, равновелики. т.е. 

S ∆ АЕД=S∆ ВЕС. 

Тогда S ∆ ВЕС равна полуразности между площадью трапеции и суммой площадей ∆ АВЕ и ∆ ДЕС. 

∆ АВЕ~∆ ДЕС по равным вертикальным и накрестлежащим углам

k=24/30=4/5

Тогда 

высота h трапеции состоит из высот  этих треугольников  h1 и h2;  h1:h2=4/5 ⇒ h=9  частей этого отношения. 

точкой Е высота трапеции делится на 

 h1=h*4/9

h2=h*5/9

S ∆  АВЕ=0,5*24*4h/9=12*4h/9

S ∆ ДЕС=0,5*30*5h/9=15*5h/9

Площадь трапеции

S АВСД=(24+30)*h/2=27h

Сумма площадей треугольников при основаниях

S ∆  АВЕ+S ∆ ДЕС=12*4h/9+15*5h/9=41h/3

Сумма площадей треугольников при боковых сторонах

S АВСД – (S ∆  АВЕ+S ∆ ДЕС)=27h – 41h/3=40h/3

Площадь ∆ ВСЕ равна половине полученного значения (см. выше):

S ∆ BCE=(40h/3):2=20h/3

Найдем h   из ∆ АДН.

h=AH=AД*sin 60º

h=(3*√3):2=1,5√3

S ∆ BCE=20*1,5√3/3=10√3