Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а проекція другого катета на гіпотенузу дорівнює 12 см. Знайдіть гіпотенузу.

1,Напишите уравнение прямой, проходящий через 2 точки M(-2.-1) N(3.1)
Решение:
Уравнение прямой имеет вид:
ах+by+c=0  (1)
т.М         а*(-2)+b*(-1)+c=0       -2a-b+c=0
т.N         a*3+b*1+c=0              3a+b+c=0   (2)
Складываем два уравнения системы, получаем
-2a+3a-b+b+c+c=0
a+2c=0
a=-2c     (3)
Подставим (3) в (2), получаем
3*(-2с)+b+c=0
-6c+b+c=0
-5c=-b
 b=5c   (4)
Подставим (3) и (4) в (1), получаем
-2сх+5су+с=0
с*(-2х+5у+1)=0
-2х+5у+1=0
2х-5у-1=0 - уравнение прямой.

2,
Напишите уравнение прямой, проходящей через точку M(3,-2) и параллельной оси ординат 
Решение:
Вторая точка будет А(3;0)
Уравнение прямой имеет вид:
ах+by+c=0    (1)
т.М         а*3+b*(-2)+c=0       3a-2b+c=0      3a=2b-c
т.N         a*3+b*0+c=0           3a+c=0          3a=-c
3а=-с
а=-с/3           (2)
2b-c=-c
2b=-c+c
2b=0
b=0               (3)
Подставим (2) и (3) в (1), получим
(-с/3)*х+0*у+с=0
(-с/3)*х+с=0
с*(-1/3х+1)=0
-1/3х+1=0
Умножим на (-3), получаем
х-3=0
х=3 - уравнение прямой.

В треугольнике АВС (АВ=ВС) проведем высоту АН к стороне ВС. Высота тупоугольного треугольника, проведенная из вершины острого угла,  лежит вне треугольника.

    В равнобедренном ∆ АВС   ∠ВСА=∠САВ= 30°,⇒ ∠В=180°-2•30°=120° В Δ АВН  угол АВН смежный углу АВС равен 180°-120°=60°. Угол ВАН=180°- 90°-60°=30°.

 Примем  АВ=ВС равными а. Тогда ВН=а•sin30°=a/2, AH=a•sin60°=a√3/2.

Биссектриса АЕ делит угол ВАС на два по 30°:2=15°. Тогда в прямоугольном треугольнике НАЕ ∠НАЕ=<НАВ+ <ВАЕ=30°+15°=45°.  Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, поэтому ∠НЕА=45°⇒ ∆ АНЕ - прямоугольный равнобедренный (по свойству), и ЕН=АН=a√3/2

НЕ=ВЕ+ВН=(8+а/2 )

Из равенства АН=ЕН следует  a√3/2=8+а/2, откуда получим а-8=8√3, ⇒  а=8(√3+1) см

Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения равных сторон на синус угла между ними.

S(ABC)=0,5•a²•sin120°.  S(ABC)=0,5•[8(√3+1)]²•√3/2=32√3( 2+√3) см²