Оформление каждой задачи: чертёж, дано, найти, решение, ответ Задача1
Расстояние от точки Hдо каждой из вершин равностороннего треугольника ABC равно 4 см.
Найдите расстояние от точки H до плоскости треугольника ABC, если AB равно 6 см.
Задача 2
Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АД,
перпендикулярная к плоскости треугольника. Докажите, что треугольник ДВС прямоугольный и
найдите ВД, если ВС=18см, СД=24см
Задача 3
Длина стороны ромба АВСД равна а, угол А равен 30 градусов. AM перпендикулярна плоскости
ABC, AM = а. Найдите расстояние от точки M до прямой СД
Задача4
Через вершину А треугольника АВСД проведена наклонная AM к плоскости прямоугольника,
составляющая углы а со сторонами АД и АБ. Найдите ѕina, если угол между этой наклонной и
плоскостью прямоугольника равен t.
Задача5
Точка Р равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника. Длина медианы, проведённой
из вершины прямого угла, равна а, расстояние от точки Рдо плоскости треугольника равно 2а.
Найдите расстояние от точки P до вершин этого треугольника.
В равностороннем треугольнике все очень просто. Сначала находим ВЫСОТУ из точки В, она равна 13*корень(3)/2. По идее уже тут можно воспользоваться тем, что высота - одновременно и медиана, то есть найти её (высоту-медиану) из прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 и одним из катетов 13/2. Второй катет (то есть высота-медиана) будет как раз 13*корень(3)/2 (теорема Пифагора :)).
А теперь вспоминаем, что точка О лежит на этой медиане-высоте на расстоянии 2/3 её длины, считая от вершины.
То есть ОВ = (13*корень(3)/2)*(2/3) = 13*корень(3)/3.
Угол ACB пересекается параллельными прямыми⇒по теореме о пропорциональных отрезках B_1D:DC=BA_1:A_1C=1:1⇒B_1D=DC⇒AB_1=2B_1D.
Угол CAA_1 пересекается параллельными прямыми⇒по теореме о пропорциональных отрезках
AG:GA_1=AB_1:B_1D=2:1.
Таким образом, медиана BB_1 в точке пересечения разделила медиану AA_1 в отношении 2 к 1, считая от вершины. Поскольку мы взяли две произвольные медианы, доказано, что каждая из них разделит каждую в отношении 2 к 1. Поэтому во-первых они пересекаются в одной точке, а во-вторых, делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины.
Замечание для продвинутых (21+)))
Знающие теорему Чевы вопрос о том, что медианы пересекаются в одной точке, не задают. А знающие к тому же теорему Менелая, не спрашивают и про отношение 2 к 1. А знающие теорему Ван-Обеля просто умирают при этом со смеху, потому что для них решение прокручивается устно в голове за 0,5 секунды максимум