Около окружности описана равнобедренная трапеция. а) докажите, что ее диагональ проходит через середину отрезка, концы которого – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции. б) найдите отношение оснований трапеции, если известно, что площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 3/8 площади трапеции.

 Положим что это верно , то есть  делить  ,     точки касания ,   тогда и вторая диагональ   делить   из-за того что трапеция равнобедренная . 
   Продлим  за точки   , тогда и замечательного свойства трапеций , того что отрезок соединяющий диагонали и основания , проведенный из вершины проходит через одну точку , но так как трапеция равнобедренная , получим  что прямая проведенная с вершины треугольника  , будет делить   на  , но так как    , то и  и точки пересечения диагоналей и  будут пересекаться в одной точке ,а значит  изначальное условие было верно . 
   
Так как трапеция , равнобедренная , диагонали делят на треугольники ,  два из которых подобны ,  если большее основание и меньшее      равны             тогда      высоты треугольников образованных отрезками диагоналей и основаниями .  Получим 
  
  То есть основания относятся как