Пусть Трапеция ABCD; AB = CD; пусть точки касания AB с окружностью M, BC - K; CD - N; AD - P; у дельтоида MKNP известны обе взаимно перпендикулярные диагонали (MN = n = 8; очевидно, что KP = 2*r = 10); центр окружности радиуса r = 5 пусть O, лежит в середине KP. Площадь трапеции S = p*r = r*(AB + BC + CD + AD)/2 = r*(2*AB); поскольку суммы противоположных сторон равны, и AB + CD = 2*AB = p ; Треугольник AOB - прямоугольный, его гипотенузу AB надо найти, высота равна OM = r; Треугольник KMP тоже прямоугольный, так как KP - диаметр. ∠OAB = 90° - ∠MOA; то есть ∠MOA = ∠ABO; ∠MOA = (1/2)*∠MOP = ∠MKP; получилось ∠ABO = ∠MKP; то есть прямоугольные треугольники AOB и MKP подобны. Гипотенуза треугольника MKP KP = 2*r; высота n/2; Ясно, что отношение высот равно отношению гипотенуз, то есть r/AB = (n/2)/(2*r); AB = 4*r^2/n; p = 2*AB = 8*r^2/n; S = 8*r^3/n; S = 125.
Площадь трапеции S = p*r = r*(AB + BC + CD + AD)/2 = r*(2*AB);
поскольку суммы противоположных сторон равны, и AB + CD = 2*AB = p ;
Треугольник AOB - прямоугольный, его гипотенузу AB надо найти, высота равна OM = r;
Треугольник KMP тоже прямоугольный, так как KP - диаметр.
∠OAB = 90° - ∠MOA; то есть ∠MOA = ∠ABO;
∠MOA = (1/2)*∠MOP = ∠MKP; получилось ∠ABO = ∠MKP;
то есть прямоугольные треугольники AOB и MKP подобны.
Гипотенуза треугольника MKP KP = 2*r; высота n/2;
Ясно, что отношение высот равно отношению гипотенуз, то есть
r/AB = (n/2)/(2*r); AB = 4*r^2/n; p = 2*AB = 8*r^2/n; S = 8*r^3/n;
S = 125.