Около прямоугольного треугольника ABC описана окружность, радиус которой равен 4. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если известно, что OO1=2, где O и O1 - центры вписанной и описанной окружности.
Центр описанной окружности , в прямоугольном треугольнике , лежит на середине гипотенузы.Значит гипотенуза АВ=8.
Пусть в ΔАВС, ∠С=90°, радиус вписанной окружности -х. Т.к. радиус , проведенный в точку касания перпендикулярен касательной , то ОК⊥СВ и ОМ⊥СА, т.е СКОМ-квадрат.Тогда СМ=СК=х.
По своству отрезков касательных (Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, от общей точки до точек касания равны друг другу) имеем
ВК=ВО₁=4 и значит ВС=х+4
АМ=АО₁=4 и значит АС=х+4.
По т. Пифагора для ΔАВС имеем ВА²=ВС²+АС²
(х+4)²+(х+4)²=8²
2*(х+4)²=8²
(х+4)²=8²/2
х+4=8/√2 или х+4=-8/√2
х=-4+8/√2 или х=-4-8/√2 ( не подходит по смыслу х>0).
Объяснение:
Центр описанной окружности , в прямоугольном треугольнике , лежит на середине гипотенузы.Значит гипотенуза АВ=8.
Пусть в ΔАВС, ∠С=90°, радиус вписанной окружности -х. Т.к. радиус , проведенный в точку касания перпендикулярен касательной , то ОК⊥СВ и ОМ⊥СА, т.е СКОМ-квадрат.Тогда СМ=СК=х.
По своству отрезков касательных (Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, от общей точки до точек касания равны друг другу) имеем
ВК=ВО₁=4 и значит ВС=х+4
АМ=АО₁=4 и значит АС=х+4.
По т. Пифагора для ΔАВС имеем ВА²=ВС²+АС²
(х+4)²+(х+4)²=8²
2*(х+4)²=8²
(х+4)²=8²/2
х+4=8/√2 или х+4=-8/√2
х=-4+8/√2 или х=-4-8/√2 ( не подходит по смыслу х>0).
Значит радиус вписанной окружности х=-4+8/√2 =-4+4√2=4(√2-1)