Около равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность. На дуге AB, не содержащей точки C, отмечена произвольная точка D. Пусть точка Е симметрична точке C относительно прямой BD. Докажите, что точки A, D и Е лежат на одной прямой.

KA = KB = KC = KD = 13

Объяснение:

Из прямоугольного треугольника АВС находим АС по теореме Пифагора:

АС = √(АВ² + ВС²) = √(36 + 64) = 10

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам:

АО = ВО = СО = DO = 5

АО, ВО, СО и DO - проекции наклонных KA, KB, KC и KD на плоскость прямоугольника.

Если равны проекции наклонных, проведенных из одной точки, то равны и сами наклонные, т.е.

KA = KB = KC = KD.

Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора находим КА:

КА = √(ОК² + АО²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13

KA = KB = KC = KD = 13

№1 За угол между диагоналями принимается больший из углов,значит им будет угол ВОС. Угол АВО=СРО=30гр. как накрест лежащие при параллельных прямых АР и ВС.Угол СВО =90-30=60гр. .Значит уол ВСО тоже равен 60 гр. так как точкой пересечения диагонали прямоугольника делятся на равные отрезки т.е ВО=СО .Из этого следует,что треугольник ВОС равнобедренный значит угол ВОС=180-(60+60)=60гр.

№2 Из вершины С опустим высоту К на сторону АД,получаем АК+КД=10
КД=10-6=4.
Рассотрим треугольник СДК ,который прямоугольный и угол СДК=45гр.,значит Треугольник еще и равнобедренный ,получаем КД=СК=4,а СК=ВА
ВА-меньшая боковая сторона=4.

№3 Так как КЕ биссектриса угол МКЕ=ЕКР,а угол МЕК=ЕКР(как накрест лежащие)=МКЕ, значит треугольник КМЕ равнобедренные,где МЕ=КМ=10
ЕN-обозначим за х,значит МN=КР=10+х, значит Периметр=10*2+2*(10+х)=52
 решаем уравнение х=6,КР=10+6=16