Окружность S касается равных сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним образом
описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что середина
отрезка PK является центром вписанной окружности треугольника ABC.

  АВС - прямоугольный треугольник. ∠А=90°, D принадлежит стороне АС. BD=ВС=ВС/√3. Площадь равна 24√3 см². Найдите длину стороны АВ.

ответ: 4√3

Объяснение:

 В равнобедренном по условию ∆ ВСD проведем высоту DM, она же медиана треугольника BDC и делит ВС на СМ=ВМ=ВС/2

Kосинус угла С=ВС/2):ВС.√3=(√3)/2 - это косинус 30°.

Тогда ВС=2АВ ( свойство)

По одной из формул площади треугольника

S (АВС)=AB•BC•sin∠ABC:2

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°

Угол АВС=90°-30°=60°, его синус=(√3)/2

По условию S(ABC)=AB•2AB•(√3)/2=24√3 =>

АВ²=48

АВ=√48=4√3

  На сторонах треугольника АВС  АВ, ВС, СА взяты соответственно точки М, N, P таким образом. что выполняется соотношение АМ:АВ=ВN:NB=СР:СА=1:3. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника МNP=2.

———————

ответ D) 6

Объяснение: Пусть АВ=с, ВС=а, АС=b

Т.к. короткие части равны 1/3 каждой стороны, то АМ=с/3, ВN=a/3, CP=b/3. Соответственно вторые части сторон равны по 2/3 от длины каждой.

     Одна из формул площади треугольника S=0,5•a•b•sinα, где а и b - стороны. α - угол между ними. Следствие из этой формулы:

Площади треугольников, имеющих одинаковый угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Примем площадь ∆ АВС=Q.

Тогда Ѕ(МАР):Ѕ(АВС)=[(с/3)•2b/3]:c•b=Q•2/9

Аналогично вычисления площадей ∆ МВN и ∆ PNC дадут их величину Q•2/9  (проверьте)

Сумма площадей этих треугольников 3•Q•2/9=Q•2/3 =>

Q-2Q/3=2

Q/3=2 => Q=3•2=6 (ед. площади)