Окружность, вписанная в трапецию abcd, касается ее боковых сторон ab и cd в точках m и n соответственно. известно, что am = 8mb и dn = 2cn. докажите, что ad = 4bc. с рисунком.
Так как касательные к окружности из одной точки равны, то: ВС=МВ+CN. AD=8MB+2CN. BC+AD=9MB+3CN. AD=6MB+3BC-BC или AD=8MB+2CN=6MB+2BC. Треугольники АВО и СОD - прямоугольные (так как боковая сторона трапеции видна из центра вписанной в нее окружности под углом 90° - свойство). Высоты ОМ и ОN (равные радиусу) равны. По свойству высоты из прямого угла имеем: ОМ=(2√2)*МВ; ОN=√2*CN. Или 2МВ=СN. Тогда 6МВ=2МВ+4МВ=2МВ+2CN = 2ВС. AD=6MB+2BC (доказано выше). AD=2BC+2BC==4ВС, что и требовалось доказать.
а) Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.
Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, поэтому <BAO+<ABO=(<BAD+<ABC)/2=90
Значит треугольник AOB прямоугольный. Аналогично, треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y
MO=√AM*MB=2√2x=NO=√CN*ND=3y
Отсюда у=2х
Следовательно
BK=BM=x
AL=AM=8x
CK=CN=2x
DL=DN=4x
BC=BK+KC=3x
AD=AL-LD=12x
ОтсюдаAD=4BC
ВС=МВ+CN.
AD=8MB+2CN.
BC+AD=9MB+3CN. AD=6MB+3BC-BC или
AD=8MB+2CN=6MB+2BC.
Треугольники АВО и СОD - прямоугольные (так как боковая сторона трапеции видна из центра вписанной в нее окружности под углом 90° - свойство).
Высоты ОМ и ОN (равные радиусу) равны.
По свойству высоты из прямого угла имеем:
ОМ=(2√2)*МВ; ОN=√2*CN. Или
2МВ=СN. Тогда 6МВ=2МВ+4МВ=2МВ+2CN = 2ВС.
AD=6MB+2BC (доказано выше).
AD=2BC+2BC==4ВС, что и требовалось доказать.