Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то треугольник равнобедренный. ⇒ΔВАО - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой. ⇒
ВD=DО= ВО= ОС.
2) Дополнительное построение: Проведём ОМ⊥АС.
Рассмотрим прямоугольные треугольники АDО и АМО.
∠DАО=∠ОАС - по условию, АО - общая.
Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.
⇒ΔАDО = ΔАМО
Из равенства треугольников следует равенство катетов:
Обозначим стороны АВ=АС=b, BC=a, биссектрису BL=d, угол ABL=альфа, тогда углы при основании треугольника ABC=ACB=(2альфа)угол при вершине BAC=(180-4альфа)и альфа должен быть < 45 градусов, т.е. 2альфа должен быть < 90 градусов, т.к. в равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть тупым...угол ALB=(3альфа)по т.синусов: a*sin(2альфа) = b*sin(180-4альфа)отсюда a = b*sin(180-4альфа) / sin(2альфа) = b*sin(4альфа) / sin(2альфа) = = 2*b*cos(2альфа)по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа)по условию задачи d = BC - AL = a - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = 2*b*cos(2альфа) - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = b* ( 2*cos(2альфа) - sin(альфа) / sin(3альфа) )для длины биссектрисы справедлива формула: d = 2*a*b*cos(альфа) / (a+b)отдельно запишем a+b = 2*b*cos(2альфа) + b = b*(2*cos(2альфа) + 1)d = 2*2*b*cos(2альфа)*b*cos(альфа) / ( b*(2*cos(2альфа) + 1) ) = = 4*b*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)если приравнять два получившихся равенства для биссектрисы d, то длина стороны b сократится и останется тригонометрическое равенство:sin(альфа) / sin(3альфа) = = 2*cos(2альфа) - 4*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)после несложных преобразований можно получить равенство:2*cos(2альфа)*(4*(cos(альфа))^2 - 1) = 1 + 4*cos(2альфа)*cos(альфа)это выражение можно привести к полному уравнению четвертой степени относительно косинуса альфа одно из решений здесь очевидно... cos(альфа) = +- 1/2но этот угол не может быть в равнобедренном треугольнике (см. выше...)))если решать оставшееся кубическое уравнение, то единственным подходящим решением получается cos(альфа) =примерно= 0.94 (0.93969)это угол около 20 градусовтогда углы данного равнобедренного треугольника 40, 40, 100
∠С=30°,∠А=90°,∠В=60°
Объяснение:
Дано: AD⊥BC, ВО=ОС. ∠ВАD=∠DАО=∠ОАС
Найти: ∠А,∠В,∠С ΔАВС
Пусть ∠ВАD=∠DАО=∠ОАС=х
1) Рассмотрим ΔВАО. АD - высота. ∠ВАD=∠DАО ⇒ АD - биссектриса.
Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то треугольник равнобедренный. ⇒ΔВАО - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой. ⇒
ВD=DО=
ВО= 
ОС.
2) Дополнительное построение: Проведём ОМ⊥АС.
Рассмотрим прямоугольные треугольники АDО и АМО.
∠DАО=∠ОАС - по условию, АО - общая.
Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.⇒ΔАDО = ΔАМО
Из равенства треугольников следует равенство катетов:
DО = МО =
ВО= 
ОС.
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ОМС (∠М=90°).
Из доказанного выше МО=
ОС. Т.е. катет МО равен половине гипотенузы ОС.
Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30°.Следовательно ∠С=30°
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник АDC(∠D=90°).
По свойству острых углов прямоугольного треугольника
∠DАС=90°-∠С=90°-30°=60°.
По условию ∠DАС=2х ⇒ 2х=60°, х=30°
5) ∠ВАС=3х=3*30°=90°
∠А треугольника АВС = 90°
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠В треугольника АВС будет равен: ∠В=180°-∠А-∠С=180°-90°-30°=60°