1. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Дано: ω (О; ОА), СА и СВ - касательные (А и В - точки касания). Доказать: СА = СВ, ∠АСО = ∠ВСО. Доказательство: Проведем радиусы в точки касания. Они перпендикулярны касательным (по свойству касательной). ∠САО = ∠СВО = 90°, ОА = ОВ как радиусы, ОС - общая гипотенуза для треугольников САО и СВО, ⇒ ΔСАО = ΔСВО по катету и гипотенузе. Следовательно, СА = СВ и ∠АСО = ∠ВСО. Доказано.
2. Теорема: если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной к окружности.
Дано: ω (О; ОА), прямая а, а⊥ОА, А∈а. Доказать: а - касательная к окружности. Доказательство: Радиус перпендикулярен прямой а. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой. Значит, расстояние от центра до любой другой точки прямой будет больше, чем до точки А, и значит все остальные точки прямой лежат вне окружности. Итак, прямая а и окружность имеют только одну общую точку А. Значит, прямая а - касательная к окружности.
3. Соединяем данную точку А с центром окружности. Проводим перпендикуляр к полученному радиусу, проходящий через данную точку. Для этого на луче ОА откладываем отрезок АВ = ОА. Строим две окружности равного радиуса (произвольного, но больше половины отрезка ОВ) с центрами в точках О и В. Через точки пересечения окружностей проводим прямую а. Это и есть прямая, перпендикулярная радиусу ОА. Прямая а - касательная к окружности.
вектор ас имеет проекции
ас х = (4 - 0) = 4; ас у = (3 - 3) = 0
ас (4; 0)
вектор bс имеет проекции
bс х = (4 - 4) = 0; bс у = (3 - 0) = 3
bс (0; 3)
найдём скалярное произведение векторов ас и bс
ас · bс = (4 · 0 + 0 · 3) = 0
следовательно векторы ас и вс перпендикулярны.
угол асв - прямой и опирается на диаметр аb
Найдём диаметр ав
IabI = √(0 + 4)² + (3 + 0)² = 5
Радиус окружности равен половине диаметра R = 2,5.
Центр окружности O расположен посредине между точками а и b
Найдём координаты точки О
xО = (0 + 4)/2 = 2; уО = (3 + 0)/2 = 1,5
Запишем уравнение окружности (х - хО)² + (у - уО)² =R²
(х - 2)² + (у - 1,5)² = 2,5²
Дано: ω (О; ОА), СА и СВ - касательные (А и В - точки касания).
Доказать: СА = СВ, ∠АСО = ∠ВСО.
Доказательство:
Проведем радиусы в точки касания. Они перпендикулярны касательным (по свойству касательной).
∠САО = ∠СВО = 90°,
ОА = ОВ как радиусы,
ОС - общая гипотенуза для треугольников САО и СВО, ⇒
ΔСАО = ΔСВО по катету и гипотенузе.
Следовательно, СА = СВ и ∠АСО = ∠ВСО.
Доказано.
2. Теорема: если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной к окружности.
Дано: ω (О; ОА), прямая а, а⊥ОА, А∈а.
Доказать: а - касательная к окружности.
Доказательство:
Радиус перпендикулярен прямой а. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой. Значит, расстояние от центра до любой другой точки прямой будет больше, чем до точки А, и значит все остальные точки прямой лежат вне окружности.
Итак, прямая а и окружность имеют только одну общую точку А. Значит, прямая а - касательная к окружности.
3. Соединяем данную точку А с центром окружности.
Проводим перпендикуляр к полученному радиусу, проходящий через данную точку. Для этого на луче ОА откладываем отрезок АВ = ОА.
Строим две окружности равного радиуса (произвольного, но больше половины отрезка ОВ) с центрами в точках О и В.
Через точки пересечения окружностей проводим прямую а. Это и есть прямая, перпендикулярная радиусу ОА.
Прямая а - касательная к окружности.