Две вершины вписанного в полукруг квадрата лежат на диаметре, а две других - на полуокружности - как половина вписанного в круг прямоугольника, стороны которого лежат на равном расстоянии от центра окружности по разные стороны от диаметра.
Пусть данный квадрат будет АВСD, вершины А и D лежат на диаметре КМ, В и С - на полуокружности. .
ВС||KM, ⇒КВСМ - трапеция , причем равнобедренная ( в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию.
Высота равнобедренной трапеции делит большее основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований, меньший - их полуразности. ⇒
КD=(2r+BC):2, DМ=(2r-ВС):2
∆ КСМ - прямоугольный (угол С опирается на диаметр)
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу.
Примем сторону квадрата равной а. Его площадь будет равна а²
Две вершины вписанного в полукруг квадрата лежат на диаметре, а две других - на полуокружности - как половина вписанного в круг прямоугольника, стороны которого лежат на равном расстоянии от центра окружности по разные стороны от диаметра.
Пусть данный квадрат будет АВСD, вершины А и D лежат на диаметре КМ, В и С - на полуокружности. .
ВС||KM, ⇒КВСМ - трапеция , причем равнобедренная ( в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию.
Высота равнобедренной трапеции делит большее основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований, меньший - их полуразности. ⇒
КD=(2r+BC):2, DМ=(2r-ВС):2
∆ КСМ - прямоугольный (угол С опирается на диаметр)
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу.
Примем сторону квадрата равной а. Его площадь будет равна а²
a²= [(2r+a):2]•[(2r-a):2] ⇒
a²=(4r²-a²):4
4a²=4r²-a²
5a²=4r²
a²=4r²/5 - это площадь квадрата.
окружность (O, r) — вписанная,
K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,
BM=4 см, AM=6 см.
Найти:
\[{P_{\Delta ABC,}}{S_{\Delta ABC}},r.\]
Решение:
1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,
окружность, вписанная к прямоугольный треугольникAK=AM=6 см,
BF=BM=4 см,
CK=CF=x см.
2) AB=AM+BM=6+4=10 см,
AC=AK+CK=(6+x) см,
BC=BF+CF=(4+x) см.
3) По теореме Пифагора:
\[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}\]
\[{(6 + x)^2} + {(4 + x)^2} = {10^2}\]
\[36 + 12x + {x^2} + 16 + 8x + {x^2} = 100\]
\[2{x^2} + 20x - 48 = 0\]
\[{x^2} + 10x - 24 = 0\]
По теореме Виета,
\[{x_1} = 2,{x_2} = - 12.\]
Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.
4)
\[{P_{\Delta ABC}} = AB + AC + BC,\]
\[{P_{\Delta ABC}} = 10 + 8 + 6 = 24(cm),\]
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC,\]
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24(c{m^2}),\]
\[r = \frac{{AC + BC - AB}}{2},\]
\[r = \frac{{8 + 6 - 10}}{2} = 2(cm).\]
ответ: 24 см, 24 см², 2 с