Основание наклонной призмы ABCA1B1C1—равносторон-
ний треугольник ABC. Боковые грани AA1B1B и AA1C1C —равные
ромбы с острым углом при общей вершине A.
а) Докажите, что боковая грань BB1C1C —квадрат.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости BB1C1, если
∠CAA1=60◦, а сторона основания призмы равна √2
а) Докажем, что боковая грань BB1C1C является квадратом.
Из условия задачи мы знаем, что боковые грани AA1B1B и AA1C1C являются равными ромбами с острым углом при общей вершине A. Также известно, что основание наклонной призмы ABCA1B1C1 является равносторонним треугольником ABC.
Для начала, давайте рассмотрим треугольник ABC. Поскольку он является равносторонним треугольником, то у него все стороны равны. Обозначим длину стороны треугольника ABC как а.
Затем, рассмотрим ромб AA1B1B. Так как у ромба ромбовидные все углы, то мы можем сказать, что угол AA1B равен 90°. Также, из острого угла при вершине A следует, что угол A1AB равен 90°. Так как углы AA1B и A1AB равны, то эти две стороны ромба равны между собой.
Аналогичным образом, рассмотрим ромб AA1C1C. Опять же, так как у ромба ромбовидные все углы, то мы можем сказать, что угол AA1C равен 90°. Также, из острого угла при вершине A следует, что угол A1AC1 равен 90°. Так как углы AA1C и A1AC1 равны, то эти две стороны ромба также равны между собой.
Таким образом, мы выяснили, что стороны ромбов AA1B1B и AA1C1C равны между собой и равны a.
Теперь рассмотрим боковую грань BB1C1C. Мы уже знаем, что стороны ромба AA1B1B равны между собой и равны a. Это значит, что стороны ромба AA1B1B имеют такую же длину, как стороны боковой грани BB1C1C.
Таким образом, стороны боковой грани BB1C1C равны между собой и равны a. Это означает, что боковая грань BB1C1C является квадратом.
б) Теперь давайте найдем расстояние от вершины A до плоскости BB1C1.
Из условия задачи нам известно, что угол ∠CAA1 равен 60° и сторона основания призмы равна √2.
Поскольку призма является равносторонней, то угол ∠AAC равен 60°. Так как углы ∠CAA1 и ∠AAC равны между собой, то угол ∠CAA1 равен 60°.
Теперь обратимся к треугольнику ABC. У нас есть равносторонний треугольник, поэтому углы ∠ABC и ∠ACB также равны 60°. Так как углы ∠CAA1 и ∠ABC равны между собой, то угол ∠ABC также равен 60°.
Таким образом, мы знаем, что угол ∠CAA1 равен 60° и угол ∠ABC также равен 60°. Значит, угол ∠BAA1 равен 180° - 60° - 60° = 60°.
Мы также знаем, что у нас есть равносторонний треугольник ABC с длиной стороны √2.
Теперь давайте построим высоту треугольника ABC. Высота разделит треугольник на два равнобедренных треугольника, каждый из которых будет иметь угол ∠BAA1 равным 60°.
Так как у треугольников ∆BAA1 и ∆CAA1 углы ∠BAA1 и ∠CAA1 равны между собой, а углы ∠CAA1 и ∠ABC также равны между собой, то эти два треугольника подобны.
Поэтому отношение высоты к основанию в каждом из треугольников будет таким же, как отношение высоты к основанию в равностороннем треугольнике ABC.
Так как у равностороннего треугольника отношение высоты к основанию равно 2/√3, то отношение высоты к основанию в треугольниках ∆BAA1 и ∆CAA1 также равно 2/√3.
Теперь найдем высоту от вершины A до плоскости BB1C1. Зная отношение высоты к основанию и длину основания (√2), мы можем умножить эти значения, чтобы найти высоту треугольников ∆BAA1 и ∆CAA1.
Высота треугольников ∆BAA1 и ∆CAA1 будет равна (2/√3) * (√2) = 2√2/√3 = (2√2 * √3) / 3 = (2√6) / 3.
Таким образом, расстояние от вершины A до плоскости BB1C1 равно (2√6) / 3.