Основание пирамиды прямоугольный треугольник с острым углом 30 высота пирамиды равна 4и образует со всеми боковыми рёбрами углы45°. найти площадь основания пирамиды с рисунком, ​

 Пусть M- cередина АС, N - середина АВ. Продолжим ВМ на расстояние ВМ, получим Q, продолжим CN на расстояние CN, получим Р. 
Рассмотрим четырехугольник APBC, в нем диагонали РС и АВ точкой пересечения N делятся пополам, значит, это параллелограмм (признак такой), значит АР параллельна ВС (определение параллелограмма). 
Рассмотрим четырехугольник ABCQ, в нем диагонали AС и ВQ точкой пересечения M делятся пополам, значит, это параллелограмм (признак такой), значит АQ параллельна ВС (определение параллелограмма). 
Итак, в точке А проведены две прямые АР и АQ, параллельные ВС. По 5 постулату Евклида (аксиома параллельности) через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной, значит, точки А, Р,  Q лежат на одной прямой

Если бы было дано, что это трапеция, можно было бы сделать по её формуле. Но здесь этого не дано, так что пойдём другим путём.

Проведём высоты для данной фигуры из вершин А и В.

Получим три фигуры: два прямоугольных треугольника и прямоугольник.

Sпрям.треуг.=ab/2 (полупроизведение катетов)

Sпрям.=ab (произведение длин сторон)

На картинке я посчитала количество клеточек, расписывать тут не буду. Клетка = 1см, значит количество клеток - это и есть длины сторон.

Sпрямоуг.=АВ*ВК=4*3=12см²

Sпрямоуг.треуг.1=СН*АН/2=2*3/2=6/2=3см²

Sпрямоуг.треуг.2=ВК*КМ/2=3*3/2=9/2=4,5см²

Складываем: 12+3+4,5=19,5см² - ответ