Основание пирамиды-равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом a.боковая грань, содержащая гипотенузу основания,перпендикулярна к плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом бетта. а)докажите, что высота пирамиды проходит через середину гипотенузы основания. б)найдите высоту пирамиды.
а) Если боковая грань перпендикулярна основанию, то высота лежит в этой грани.
Значит основание высоты - точка Н - лежит на гипотенузе.
Проведем из точки Н перпендикуляры НК и НМ к катетам АС и ВС.
НК и НМ - проекции наклонных SK и SM на плоскость основания, значит SK⊥AC и SM⊥BC по теореме о трех перпендикулярах. Тогда
∠SKH = ∠SMH = β - углы наклона боковых граней к плоскости основания.
Треугольники КSH и МSH прямоугольные, катет SH общий, и равны углы, противолежащие этому катету, значит
ΔКSH = ΔМSH по катету и противолежащему острому углу, ⇒
КН = МН, значит СМНК - квадрат, СН - его диагональ, значит и биссектриса треугольника АВС. А так как треугольник равнобедренный, то и медиана, ⇒АН = ВН.
б) КН - средняя линия ΔАВС, так как проходит через середину АВ и параллельна ВС.
КН = а/2.
ΔSKH: tgβ = SH / HK
SH = HK · tgβ = a/2 · tgβ
Давайте обозначим основание пирамиды как треугольник ABC, где А и В - концы гипотенузы, а С - вершина прямого угла. Пусть M - середина гипотенузы АВ, а NPQ - боковая грань пирамиды (P и Q - точки пересечения грани с основанием).
а) Чтобы доказать, что высота пирамиды проходит через середину гипотенузы основания, мы должны показать, что точки M, P и Q лежат на одной прямой. Докажем это.
Рассмотрим треугольники АBM и PQM. Они имеют следующие сходства: AM = MQ (как радиус и ординат дуги окружности), угол AMB = углу PMQ (как угол, опирающийся на ту же дугу), и угол АМВ = углу ПМQ = 90 градусов. Таким образом, по стороне и двум углам треугольники подобны.
Из подобия треугольников, мы можем сделать следующий вывод:
AB / PM = AM / MQ
Так как AM = MQ, мы можем упростить уравнение:
AB / PM = 1
Отсюда следует, что MP является медианой треугольника ABC, так как делит гипотенузу пополам. По определению медианы, она проходит через середину гипотенузы.
Таким образом, мы доказали, что высота пирамиды проходит через середину гипотенузы основания.
б) Чтобы найти высоту пирамиды, мы можем использовать подобие треугольников.
Рассмотрим треугольники ABC и PQB. В этих треугольниках соответственно π - угол А и β - угол PBQ. Также сторона PB является высотой пирамиды.
По свойствам подобия треугольников:
AB / PQ = AC / PB
Так как AB = AC (основание равнобедренного треугольника), мы можем упростить уравнение:
1 / PQ = 1 / PB
Отсюда следует, что PQ = PB. Таким образом, высота пирамиды равна длине боковой грани PQ.
Мы нашли высоту пирамиды.