Основание прямой призмы - - равнобедренный прямоугольный треугольник, длина боковой стороны которого равна 3 см. Длина бокового ребра равна 4 см. Вычислите объем призмы.
Тело, которое получится вращением равнобедренного треугольника вокруг оси, проходящей через вершину основания параллельно боковой стороне, - цилиндр, из которого "вырезаны" конусы с основаниями, равными основаниям цилиндра, и общей вершиной.
Радиусом r оснований такого тела будет высота данного треугольника, проведенная к его боковой стороне.
Примем площадь оснований цилиндра и конусов равной S, высоту одного из них h1, другого – h2.
Объем цилиндра Vцил.=S•H, где S - площадь основания ( круга радиуса r), Н- длина боковой стороны стороны треугольника.
Проведем сечение пирамиды вместе с шаром через высоту пирамиды и середины противоположных сторон основания. Получился равнобедренный треугольник, у которого высота h = 6, а радиус вписанной окружности r = 2; нужно найти сторону, перпендикулярную h (основание, а боковыми сторонами будут апофемы пирамиды:))
проведем из центра вписанной окружности перпендикуляр на боковую сторону. получился прямоугольный треугольник со сторонами h - r = 4 (гипотенуза) и r = 2 (катет). Ясно, что в таком треугольнике углы 30 и 60 градусов.
Поэтому треугольник в сечении - равносторонний, и его сторона равна
Тело, которое получится вращением равнобедренного треугольника вокруг оси, проходящей через вершину основания параллельно боковой стороне, - цилиндр, из которого "вырезаны" конусы с основаниями, равными основаниям цилиндра, и общей вершиной.
Радиусом r оснований такого тела будет высота данного треугольника, проведенная к его боковой стороне.
Примем площадь оснований цилиндра и конусов равной S, высоту одного из них h1, другого – h2.
Объем цилиндра Vцил.=S•H, где S - площадь основания ( круга радиуса r), Н- длина боковой стороны стороны треугольника.
Vцил.=а•πr²
Обозначим объемы конусов V1 и V2, тогда
V1=S•h1/3
V2=S•h2/3 сумма их объёмов V1+V2=S•(h1+h2)/3
h1+h2=a
V1+V2=S•a/3=a•πr²/3
Тогда V=Vцил-(V1+V2)
V=а•πr² - а•πr²/3=а•πr²•2/3
r=a•sinα S=π•(a•sinα)²
V=а•π•(a•sinα)²•2/3=a³•sin²α•2/3
Радиус шара равен 2. (4/3)*pi*r^3 = 32*pi/3; r^3 = 8; r = 2;
Проведем сечение пирамиды вместе с шаром через высоту пирамиды и середины противоположных сторон основания. Получился равнобедренный треугольник, у которого высота h = 6, а радиус вписанной окружности r = 2; нужно найти сторону, перпендикулярную h (основание, а боковыми сторонами будут апофемы пирамиды:))
проведем из центра вписанной окружности перпендикуляр на боковую сторону. получился прямоугольный треугольник со сторонами h - r = 4 (гипотенуза) и r = 2 (катет). Ясно, что в таком треугольнике углы 30 и 60 градусов.
Поэтому треугольник в сечении - равносторонний, и его сторона равна
h/sin(60) = 12/корень(3).
Объем пирамиды
Vp = (1/3)*6*(12/корень(3))^2 = 96;