Основанием четырехугольной пирамиды является ромб, большая диагональ которого равна 8√3 см и острый угол которого равен 60°. найдите площадь полной поверхности пирамиды, если высота пирамиды равна 20 см.
Обозначим через D середину АС и проведем через эту точку перпендикуляр к АС. Пусть этот перпендикуляр пересекается с прямой АВ в точке В1, а с прямой СВ в точке В2. Тогда по второму признаку треугольники АDВ1 и СDВ2 равны, поскольку АD = СD , углы B1АD и В2СD равны по условию, а равенство углов В1DА и В2DС следует из этого, что В1 и В2 лежат на перпендикуляре к АС, проходящем через D. Таким образом, DВ1 = DВ2 , точки B1 и В2 должны совпасть друг с другом, а значит, совпасть с точкой В. Следовательно, АВ = СВ.
Равнобедренная трапеция АВСД , диагонали АС и ВД - биссектрисы (диагонали в равнобедренной трапеции равны). Угол САД = углу АСВ как внутренние разносторонние = углу ВАС , угол АДВ = углу ДВС как внутренние разносторонние = СДВ
Треугольники АВС и ВСД - равнобедренные АВ=ВС=СД= 18 х корень2/3= 6 х корень2
Проводим высоту ВК, Треугольник АКВ прямоугольный равнобедренный угол А =45
угол АВК = 90-45 =45
Высота ВК = АВ х sin А = 6 х корень2 х sin 45 = 6 х корень2 х корень2/2 =6
Проводим высоту СН = ВК, КН=ВС = 6 х корень2 , АК = НД=6
АД = 6 х корень2 + 6 + 6 = 6 х корень2 +12
Площадь = (АД +ВС)/2 х ВК = (6 х корень2 +12 + 6 х корень2)/2 х 6=36 х корень2 +36
В
А D С
Обозначим через D середину АС и проведем через эту точку перпендикуляр к АС. Пусть этот перпендикуляр пересекается с прямой АВ в точке В1, а с прямой СВ в точке В2.
Тогда по второму признаку треугольники АDВ1 и СDВ2 равны,
поскольку АD = СD , углы B1АD и В2СD равны по условию, а равенство углов В1DА и В2DС следует из этого, что В1 и В2 лежат на перпендикуляре к АС, проходящем через D.
Таким образом, DВ1 = DВ2 , точки B1 и В2 должны совпасть друг с другом, а значит, совпасть с точкой В.
Следовательно, АВ = СВ.
Равнобедренная трапеция АВСД , диагонали АС и ВД - биссектрисы (диагонали в равнобедренной трапеции равны). Угол САД = углу АСВ как внутренние разносторонние = углу ВАС , угол АДВ = углу ДВС как внутренние разносторонние = СДВ
Треугольники АВС и ВСД - равнобедренные АВ=ВС=СД= 18 х корень2/3= 6 х корень2
Проводим высоту ВК, Треугольник АКВ прямоугольный равнобедренный угол А =45
угол АВК = 90-45 =45
Высота ВК = АВ х sin А = 6 х корень2 х sin 45 = 6 х корень2 х корень2/2 =6
Проводим высоту СН = ВК, КН=ВС = 6 х корень2 , АК = НД=6
АД = 6 х корень2 + 6 + 6 = 6 х корень2 +12
Площадь = (АД +ВС)/2 х ВК = (6 х корень2 +12 + 6 х корень2)/2 х 6=36 х корень2 +36