Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной b и острым углом a, а боковые грани - ромбы с острым углом β. Вычислите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Вот вам решение :(((
В дополнение к заданным в задаче обозначениям я ввожу еще такие.
BF пересекает А в точке К. АМ = p; BN = t; NC = q; CK = x; KA = y; CF = e; FN = u; MF = f;
Ну, и АВ = с, ВС = а;
Из теорем Чевы и Ван-Обеля сразу следует
m*q*y/(p*t*x) = 1;
x/y + q/t = e/f; 
y/x + p/m = n/u;
Из первого и второго равенств следует q/t = (x/y)*(p/m); и 
(x/y)*(1 + p/m) = e/f;
аналогично из первого и третьего равенств p/m = (y/x)*(q/t); и 
(y/x)*(1 + q/t) = n/u;
Если перемножить левые и правый части, получается
(1 + p/m)*(1 + q/t) = (e*n)/(f*u); или (c/m)*(a/t) = (e*n)/(f*u); 
Пока что нигде не использовалось условие равенства углов. Это условие означает, что точки A M N C лежат на одной окружности. Отсюда сразу следует, что n*u = e*f; (произведения отрезков хорд) и m*c = t*a; (произведения отрезков секущих из точки В). Подставляя  e = n*u/f; и с = a*t/m; я получаю
a^2/m^2 = n^2/f^2; или a/m = n/f;
f = n*a/m; 
Между прочим, угол между f и n (угол MFA) НЕ равен углу ABC. То есть получить это равенство из подобия не получится :)

Тут конечно надо координатным методом. Если начало координат в точке D, оси X вдоль DA, Y вдоль DC, то уравнение окружности (x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2; в переводе на обычный язык это означает, что центр окружности лежит на биссектрисе прямого угла ADC, а окружность касается сторон этого угла. Точка М (9/2, 4), то есть середина ВС, принадлежит этой окружности. Это сразу определяет радиус.
(9/2 - r)^2 + (4 - r)^2 = r^2; 
r^2 - 17*r + 145/4 = 0; есть два корня 29/2 и 5/2. Первый корень надо отбросить - он пересекает сторону ВС только в точке М (вторая точка пересечения лежит на продолжении ВС), остается один корень r = 5/2; 
Если искомый отрезок обозначить u, то по свойству касательной и секущей из точки С
(9/2)*(9/2 - u) = (4 - r)^2; откуда u = 4; то есть u = АВ;
что наводит на мысль о решении обычными средствами. Ищите :)