Основанием пирамиды mabcd является прямоугольник abcd. ребро mв перпендикулярно плоскости основания.перпендикулярно ребру mb через его середину проведена плоскость , пересекающая прямую ad в точке k.найдите отрезок dk, если ab=1см, bc=6см, md=4см
(желательно решать через векторы )
1. Создадим систему координат в плоскости основания прямоугольника abcd. Пусть точка a будет началом координат (0, 0). Тогда координаты точек b, c и d будут соответственно (1, 0), (1, 6) и (0, 6).
2. Найдем координаты точки m. Ребро mb перпендикулярно плоскости основания, поэтому оно будет идти вдоль оси z. Так как ребро mb проходит через середину ребра bc, то его координаты будут (0.5, 3, 0), где 0.5 - половина длины отрезка bc, 3 - середина отрезка bc по оси y, и 0 - координата по оси z.
3. Найдем вектор направления прямой ad. Воспользуемся формулой для направляющего вектора прямой, проходящей через две точки: ad = d - a. Тогда координаты вектора ad будут (0 - 0, 6 - 0) = (0, 6).
4. Найдем уравнение плоскости, проходящей через прямую ad и точку m. Уравнение плоскости можно представить в виде ax + by + cz + d = 0, где a, b и c - коэффициенты, определяющие нормальный вектор плоскости, а d - свободный член. Так как плоскость проходит через точку m, то она удовлетворяет уравнению mв + d = 0. Подставим координаты точки m в уравнение: 0.5a + 3b + 0c + d = 0.
5. Найдем коэффициенты a, b и c. Для этого воспользуемся свойством перпендикулярных векторов, которое гласит, что произведение скалярных проекций перпендикулярных векторов на любую прямую равно нулю. В нашем случае выберем вектор (1, 0, 0) как направляющий вектор прямой ad. Тогда проекция вектора mв на эту прямую равна 0.5a и проекция вектора (1, 0, 0) на плоскость mвd будет равна 1. Таким образом, получаем уравнение: 0.5a * 1 + 3b * 0 + 0c * 0 = 0. В результате a = 0.
6. Возвращаясь к уравнению плоскости mв + d = 0 и подставляя значение a, получаем 0 + 3b + 0 + d = 0. Так как вектор mв не параллелен плоскости основания, его координаты по оси z не равны нулю. Тогда d = -3b.
7. Подставляем значение d в уравнение плоскости: 0.5 * 0 + 3 * b + 0 * 0 + (-3b) = 0. Упрощаем выражение и получаем 0 = 0. Видим, что это тождество выполняется, что означает, что прямая ad лежит в плоскости mвd.
8. Итак, мы знаем, что прямая ad пересекает плоскость mвd в некоторой точке k. Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки k и, соответственно, отрезок dk.
9. Подставим уравнение плоскости mв + d = 0 в уравнение прямой ad. Получим уравнение ad: 0 + 6y + 0 = 0. Решаем это уравнение относительно y и получаем y = 0.
10. Имея координаты точки k (0, 0), можем найти отрезок dk. Точка d имеет координаты (0, 6), поэтому координаты вектора dk будут (0 - 0, 6 - 0) = (0, 6).
Таким образом, отрезок dk равен 6 см.