Основанием пирамиды МАВС является треугольник со сторонами АВ=2, ВС=√7, АС=√11. Найдите объем пирамиды, если ребро МС перпендикулярно плоскости треугольника АВС и угол между плоскостями МАВ и АВС равен 45°.​

Задача с неполным условием, имеет бесконечно много решений в зависимости от вида треугольника. Рассмотрим три возможных варианта.

1) ΔABC - равнобедренный, AC = AB; AM=13 см; AC = 17 см

AM - медиана, в равнобедренном треугольнике одновременно высота ⇒   CM = MB;  AM⊥CB

ΔAMC - прямоугольный, ∠AMC=90°; AM=13 см; AC = 17 см

Теорема Пифагора :

CM² = AC² - AM² = 17² - 13² = 120 = (2√30)²

CM = 2√30 см

BC = 2 CM = 2 · 2√30 = 4√30 см

BC = 4√30 см

=========================================

2) ΔABC - прямоугольный; ∠BAC = 90°; AM=13 см; AC = 17 см

AM - медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

BC = 2 AM = 2 · 13 = 26 см;

BC = 26 см

====================================

3) ΔABC - прямоугольный, ∠ABC = 90°; AM=13 см; AC = 17 см

AM - медиана ⇒ BM = MC; BC = 2BM

Теорема Пифагора

AB² = AC² - BC² = 17² - (2BM)² = 289 - 4BM²

Теорема Пифагора для ΔABM

AB² = AM² - BM² = 13² - BM² = 169 - BM²

169 - BM² = 280 - 4BM²

3BM² = 111;   BM² = 37

BM = √37 см   ⇒   BC = 2BM = 2√37 см

BC = 2√37 см

В любом треугольнике центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведённых к сторонам треугольника. По условию центр окружности лежит и на медиане, поэтому, эта медиана будет и серединным перпендикуляром. Получается, что медиана, проведённая к одной из сторон треугольника является высотой треугольника. А если медиана является высотой, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Исключением будет случай, если центр окружности - это основание медианы, то есть точка пересечения медианы со стороной треугольника. Тогда центр окружности лежит на стороне треугольника и треугольник получится прямоугольным.