Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 10, 10 и 12 см. Все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите объем пирамиды.

1)
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности находят по формуле 
r=(а+в-с):2,
 где а и в - катеты, с - гипотенуза треугольника. 
По условию задачи  радиус вписанного круга равен (а-в):2.  
Вставим это значение радиуса в формулу:(а-в):2=(а+в-с):2  
Домножим обе части уравнения на 2 
а-в=а+в-с  
2в=с  
в=с:2  
Катет в вдвое меньше гипотенузы.  Следовательно, он противолежит углу 30ᵒ  
--------------------------
2) 
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной трети высоты этого треугольника, а диаметр -двум третям. 
Высоту правильного треугольника находят по формуле
h=(a√3):2, где а - сторона треугольника. 
h=(18√3):2 
КН  ( диаметр окружности) = две трети высоты ВН = 2(18√3):2):3=6√3 
Окружность оказалось вписанной в трапецию  AMNB, высота которой равна диаметру окружности, т.е. 6√3 
Опустив из вершины   угла М высоту МН1 к основанию АВ, получим прямоугольный треугольник АМН1 с противолежащим высоте углом А= 60ᵒ. 
АМ отсюда равна К1Н1:sin60ᵒ =12 см  
АН₁ =АК₁*sin30ᵒ=6 см 
СН₂=АН₁=6см 
Н₁Н₂=МN =6 см  
Р трапеции AMNB=12*2+18+6=48 см

<A+<B=180°, значит АD параллельна ВС (так как <A и <B - внутренние односторонние при прямых AD и ВС и секущей АВ). АВ и CD параллельны (дано). Следовательно, четырехугольник АВСD - параллелограмм по признаку: "Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм." и ВС=AD, а АО=ОС, ВО=ОD по свойству диагоналей параллелограмма..
ВМ=КD (дано) и  треугольники ВМО и ОDK равны по двум сторонам и углу между ними (ВМ=KD, ВО=ОD,<МBO=<ODК как накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей ВD.
Следовательно, МО=ОК (соответственные стороны равных треугольников), что и требовалось доказать.