.Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Наибольшее боковое ребро равно 8 см и составляет с плоскостью основания угол 45˚. Найдите длины всех ребер пирамиды.

Определение. Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.

Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:

AB||CD, BC||AD

2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:

AB = CD, BC = AD

4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:

AO = OC, BO = OD

6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2

Основные свойства параллелограмма

Квадрат, прямоугольник и ромб - есть параллелограммом.

1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:

AB||CD,   BC||AD

3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника

7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =  d1

2

BO = DO =  d2

2

9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма

10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2

11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны

12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

a =    √d12 + d22 - 2d1d2·cosγ 2 =   √d12 + d22 + 2d1d2·cosδ 2

b =    √d12 + d22 + 2d1d2·cosγ 2 =   √d12 + d22 - 2d1d2·cosδ 2

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a =  √2d12 + 2d22 - 4b2

2

b =  √2d12 + 2d22 - 4a2

2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a =  hb

sin α

b =  ha

sin α

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

a =  S

ha

b =  S

hb

Диагонали параллелограмма

Определение. Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.

Параллелограмм имеет две диагонали - длинную d1, и короткую - d2

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)

d1 = √a2 + b2 - 2ab·cosβ

d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ

2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)

d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα

d2 = √a2 + b2 - 2ab·cosα

3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:

d1 = √2a2 + 2b2 - d22

d2 = √2a2 + 2b2 - d12

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d1 =  2S  =  2S

d2·sinγ d2·sinδ

d2 =  2S  =  2S

d1·sinγ d1·sinδ

Периметр параллелограмма

Определение. Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:

P = 2a + √2d12 + 2d22 - 4a2

P = 2b + √2d12 + 2d22 - 4b2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

P =  2(b +  hb )

sin α

P =  2(a +  ha )

sin α

Площадь параллелограмма

Определение. Площадью параллелограмма называется ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.

Формулы определения площади параллелограмма:

1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:

S = a · ha

S = b · hb

2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:

S = ab sinα

S = ab sinβ

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

S =  1 d1d2 sin γ

2

S =  1 d1d2 sin δ

2

Объяснение:

Progress Cheek 1 I variant 1.Complete the sentences in past perfect 1. When I came home, mother already (to cook) dinner. 2. When father returned from work, we already (to do) our homework. 3. When the teacher entered the classroom, the pupils already (10 open) their books. 4. Kate gave me the book which she (to buy) the day before 5. Nick showed the teacher the picture which he (to draw). 6. The boy gave the goats the grass which he (to bring) from the ficld 2. Write the sentences in the interrogative form and make general and who-questions. 1. Rose had written the letter by 7 о'clock yesterday. 2 Mrs Rogers had cooked the dinner by 6 о'clock last Sunday. 3. Jane and Ann had built the toy house by four o'clock yesterday. 3. Choose the right words to complete the sentences. 1) That day Jane felt so sad ahe could (ery/smile). 2) The puplls (ended/ finished) decorating the hall late in the afternoon. 3) Do you watch matehes of your favourite football (сrеw/teаm) on television? 4) We are playing basketball in the gyт, would you 1ike to joln (- /1in)? 5) No one liked the dish, we thought it was rather (Lasteful/tasteless). 6) In the I variant 1.Compleie the sentences in past рerfect b) hie