Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна т, а острый угол равен 60º. Через катет, противолежащий этому углу, и противоположную этому катету вершину другого основания проведено сечение, составляющее 45º с плоскостью основания. Доказать, что ∆А1СД прямоугольный. Вычислить площадь основания призмы, высоту призмы.
У нас есть прямая призма, у которой основание — прямоугольный треугольник. Призму мы можем представить как цилиндр, у которого верхним основанием является наш прямоугольный треугольник, а нижним основанием — его подобный, полученный путем пересечения плоскости основания с прямым сечением под углом 45º.
По условию, гипотенуза прямоугольного треугольника равна т, а острый угол равен 60º. Обозначим катет этого треугольника как a, а противоположный катет как b.
Также нам дано, что сечение проведено через катет, противолежащий острому углу, и вершину другого основания (Обозначим эту вершину буквой D). Угол между сечением и плоскостью основания составляет 45º.
Для доказательства, что треугольник А1СД является прямоугольным, нам необходимо показать, что угол А1СД равен 90º.
Рассмотрим прямую АС, проходящую через вершины А и С основания прямой призмы.
Поскольку треугольник АВС — прямоугольный, угол ВАС равен 90º.
Из геометрии, мы знаем, что если две прямые пересекаются в плоскости и угол между ними равен 45º, то прямые должны быть перпендикулярными друг другу.
Таким образом, прямая АС перпендикулярна прямой CD, и угол А1СД равен 90º.
Теперь, чтобы найти площадь основания призмы и высоту призмы, нам достаточно знать значение сторон прямоугольного треугольника.
Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, считая a наибольшей стороной, получаем:
a² = t² - b²,
так как гипотенуза прямоугольного треугольника равна t.
Из определения синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, имеем:
sin(60º) = b / t,
откуда b = t * sin(60º).
Теперь, чтобы найти площадь основания призмы (О), нам нужно найти площадь прямоугольного треугольника АВС.
По определению площади прямоугольного треугольника, имеем:
S(О) = (a * b) / 2 = (t * (t * sin(60º))) / 2 = (t² * sin(60º)) / 2.
Также, чтобы найти высоту призмы (h), нам потребуется найти высоту прямоугольного треугольника АВС.
Используя формулу высоты в прямоугольном треугольнике, имеем:
h = a * sin(60º) = t * sin(60º).
Таким образом, площадь основания призмы равна (t² * sin(60º)) / 2, а высота призмы равна t * sin(60º).
Итак, доказали, что треугольник А1СД прямоугольный, а площадь основания призмы равна (t² * sin(60º)) / 2 и высота призмы равна t * sin(60º).