Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см, боковое ребро призмы равно 7см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.
1. ABCD - параллелограмм ; P = 2(AB +BC ) =52 ; BD ⊥ AC ; BD =10 .
AC - ?
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны ⇒ ABCD ромб (Действительно , пусть O точка пересечения диагоналей BD и AC ; в точке пересечения диагонали делятся пополам AO = CO и BO =DO ||=5 || , т.е. в треугольнике ABD AO и медиана ,и высота , значит A B = A D = P / 4 = 52/4 =13. Из ΔAOD ( или ΔAOB) по теореме Пифагора AO =√ (A B² - BO²) =√ (13² - 5²) =12⇒ AC = 2 AO =2*12 =24.
ответ : 24. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2. M произвольная точка внутри Δ ABC
MA +MB +MC > ( AC+ AB +BC) /2 →?
Пусть ABC любой треугольник , а M произвольная точка внутри него MA + MC > AC ; MA + MB > AB ; MB + MC > BC . Сложим эти три неравенства и получаем 2(MA +MB +MC) > AC+ AB +BC 2(MA +MB +MC) > P ⇒ MA +MB +MC > P / 2 , что и требовалось доказать. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! Гораздо интереснее доказать , что MA +MB +MC < P . таким образом получить P/2 < MA + MB + MC < P. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 3. ABCD - трапеция : AD | | BC и AD > BC ; AO = DO =R =2 ; AB = BC .
S = S (ABCD ) - ?
Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Действительно ∠ABC + ∠BAD =180° и ∠ABC + ∠CDA =180 ° ⇒ ∠BAD=∠CDA или по другому ◡ AB = ◡ CD (как дуги между параллельными хордами AD и BC ), значит и AB = CD ⇒ ∠BAD = ∠CDA . Если центр лежит на одной из ее сторон трапеции, то эта сторона большое основание (OA =OD =R) . AВ _ диаметр. По условию задачи AB = BC ⇒ ◡ AB = ◡BC, но ◡ AB = ◡ CD , ◡AB = ◡BC = ◡ CD = 180°/3 =60°. У равнобедренных треугольников AOB , COD , BOC один угол 60 ° следовательно они равные и равносторонние : Поэтому S= 3*S(DOC) =3 *(2²√3) /4 =3√3 .
ответ : 3√3 .
* * * * Четырехугольники ABCO и DCBO являются ромбами.
1 Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны,то это ромб.У ромба все стороны равны.Периметр равен 52см,значит сторона равна 52:4=13см.Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Пусть О-точка пересечения.Тогда ВО=1/2*BD=1/2*10=5см АО найдем по теореме Пифагора АВ²=АО²+ВО² 13²=АО²+5² АО²=169-25=144 АО=12см Отсюда АС=2*АО=2*12=24см 2 Пусть точка М лежит внутри треугольника.Соединим точку с вершинами данного треугольника. Используем неравенство треугольника:сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.Тогда AM+BM>AB AM+CM>AC BM+CM>BC прибавим 2(AM+BM+CM)>AB+BC+AC AM+BM+CM>(AB+BC+AC) AM+BN+CN>P/2 3 Соединим центр с вершинами трапеции.Построим во второй части симметричную данной трапецию.Так как боковые грани трапеции равны меньшему основанию,то мы получили правильный шестиугольник вписанный в окружность.Все стороны 6 треугольников равны 2,все треугольники правильные. Площадб трапеции будет равна половине площади шестиугольника или 3 площадям правильных треугольников со стороной 2. Площадь треугольника равна половине произведения квадрата стороны на синус 60 гр Площадь трапеции равна 3*1/2*2²*√3/2=3√3
ABCD - параллелограмм ;
P = 2(AB +BC ) =52 ;
BD ⊥ AC ;
BD =10 .
AC - ?
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны ⇒ ABCD
ромб (Действительно , пусть O точка пересечения диагоналей BD и AC ; в точке пересечения диагонали делятся пополам AO = CO и
BO =DO ||=5 || , т.е. в треугольнике ABD AO и медиана ,и высота , значит A B = A D = P / 4 = 52/4 =13. Из ΔAOD ( или ΔAOB) по теореме
Пифагора AO =√ (A B² - BO²) =√ (13² - 5²) =12⇒ AC = 2 AO =2*12 =24.
ответ : 24.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2.
M произвольная точка внутри Δ ABC
MA +MB +MC > ( AC+ AB +BC) /2 →?
Пусть ABC любой треугольник , а M произвольная точка внутри него
MA + MC > AC ;
MA + MB > AB ;
MB + MC > BC .
Сложим эти три неравенства и получаем
2(MA +MB +MC) > AC+ AB +BC
2(MA +MB +MC) > P ⇒ MA +MB +MC > P / 2 , что и требовалось доказать.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * *
! Гораздо интереснее доказать , что MA +MB +MC < P .
таким образом получить P/2 < MA + MB + MC < P.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
3.
ABCD - трапеция : AD | | BC и AD > BC ;
AO = DO =R =2 ;
AB = BC .
S = S (ABCD ) - ?
Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Действительно ∠ABC + ∠BAD =180° и ∠ABC + ∠CDA =180 ° ⇒ ∠BAD=∠CDA или по другому ◡ AB = ◡ CD (как дуги между параллельными хордами AD и BC ), значит и AB = CD ⇒ ∠BAD = ∠CDA .
Если центр лежит на одной из ее сторон трапеции, то эта сторона большое основание (OA =OD =R) . AВ _ диаметр.
По условию задачи AB = BC ⇒ ◡ AB = ◡BC, но ◡ AB = ◡ CD , ◡AB = ◡BC = ◡ CD = 180°/3 =60°. У равнобедренных треугольников AOB , COD , BOC
один угол 60 ° следовательно они равные и равносторонние :
Поэтому S= 3*S(DOC) =3 *(2²√3) /4 =3√3 .
ответ : 3√3 .
* * * * Четырехугольники ABCO и DCBO являются ромбами.
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны,то это ромб.У ромба все стороны равны.Периметр равен 52см,значит сторона равна 52:4=13см.Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Пусть О-точка пересечения.Тогда ВО=1/2*BD=1/2*10=5см
АО найдем по теореме Пифагора
АВ²=АО²+ВО²
13²=АО²+5²
АО²=169-25=144
АО=12см
Отсюда АС=2*АО=2*12=24см
2
Пусть точка М лежит внутри треугольника.Соединим точку с вершинами данного треугольника.
Используем неравенство треугольника:сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.Тогда
AM+BM>AB
AM+CM>AC
BM+CM>BC
прибавим
2(AM+BM+CM)>AB+BC+AC
AM+BM+CM>(AB+BC+AC)
AM+BN+CN>P/2
3
Соединим центр с вершинами трапеции.Построим во второй части симметричную данной трапецию.Так как боковые грани трапеции равны меньшему основанию,то мы получили правильный шестиугольник вписанный в окружность.Все стороны 6 треугольников равны 2,все треугольники правильные.
Площадб трапеции будет равна половине площади шестиугольника или 3 площадям правильных треугольников со стороной 2.
Площадь треугольника равна половине произведения квадрата стороны на синус 60 гр
Площадь трапеции равна 3*1/2*2²*√3/2=3√3