Основания АД и ВС трапеции АБСД равны 12 и 5 см соответственно. Продолжение боковых сторон АВ и СД трапеции пересекаются в т. Е. Известно, что СД-СЕ=4. Найдите сторону СД трапеции
Чтобы решить эту задачу, нужно использовать свойства трапеции и применить принцип подобия треугольников.
- Заметим, что трапеция АБСД является правильной (или прямоугольной) трапецией, так как у неё основания (стороны АБ и СД) перпендикулярны диагонали (стороне БС).
- Обозначим продолжение стороны АВ и СД таким образом: продолжение АВ обозначим как АВ', а продолжение СД как СД'.
- По условию задачи известно, что СД-СЕ=4. Это означает, что отрезок СД больше отрезка СЕ на 4 единицы. Обозначим эту разницу как х: СД - СЕ = х.
- По свойству подобных треугольников, можно сказать, что треугольники АСЕ и АС'Е подобны. Почему? Потому что у них противоположные углы А и С'Е одинаковые, а углы АСЕ и АС'Е являются прилежащими к основаниям треугольников, значит они также равны. Это означает, что отношение длин сторон в этих треугольниках будет одинаковое:
\( \frac{{АС}}{{АС'}} = \frac{{АСЕ}}{{АС'Е}} \).
- У нас известны стороны АСЕ и АС'Е - это соответственно основание ВС трапеции и продолжение стороны СД. Обозначим сторону АСЕ как х, и тогда сторону АС'Е обозначим как 12 - х, так как основание АС'Е это основание ВС минус сторона АСЕ. Получаем: \( \frac{{АС}}{{АС'}} = \frac{{х}}{{12 - х}} \).
- Теперь с помощью свойства трапеции можно понять, что отношение длин боковых сторон трапеции будет также одинаковое. В нашем случае это отношение стороны АВ к стороне СД:
\( \frac{{АВ}}{{СД}} = \frac{{х}}{{5}} \).
- Так как отношения длин в треугольниках АСЕ и АС'Е совпадают, и отношение длин СД и СД' тоже совпадает, то можно установить равенство этих отношений: \( \frac{{х}}{{5}} = \frac{{х}}{{12 - х}} \).
- Заметим, что трапеция АБСД является правильной (или прямоугольной) трапецией, так как у неё основания (стороны АБ и СД) перпендикулярны диагонали (стороне БС).
- Обозначим продолжение стороны АВ и СД таким образом: продолжение АВ обозначим как АВ', а продолжение СД как СД'.
- По условию задачи известно, что СД-СЕ=4. Это означает, что отрезок СД больше отрезка СЕ на 4 единицы. Обозначим эту разницу как х: СД - СЕ = х.
- По свойству подобных треугольников, можно сказать, что треугольники АСЕ и АС'Е подобны. Почему? Потому что у них противоположные углы А и С'Е одинаковые, а углы АСЕ и АС'Е являются прилежащими к основаниям треугольников, значит они также равны. Это означает, что отношение длин сторон в этих треугольниках будет одинаковое:
\( \frac{{АС}}{{АС'}} = \frac{{АСЕ}}{{АС'Е}} \).
- У нас известны стороны АСЕ и АС'Е - это соответственно основание ВС трапеции и продолжение стороны СД. Обозначим сторону АСЕ как х, и тогда сторону АС'Е обозначим как 12 - х, так как основание АС'Е это основание ВС минус сторона АСЕ. Получаем: \( \frac{{АС}}{{АС'}} = \frac{{х}}{{12 - х}} \).
- Теперь с помощью свойства трапеции можно понять, что отношение длин боковых сторон трапеции будет также одинаковое. В нашем случае это отношение стороны АВ к стороне СД:
\( \frac{{АВ}}{{СД}} = \frac{{х}}{{5}} \).
- Так как отношения длин в треугольниках АСЕ и АС'Е совпадают, и отношение длин СД и СД' тоже совпадает, то можно установить равенство этих отношений: \( \frac{{х}}{{5}} = \frac{{х}}{{12 - х}} \).
- Найдём x, решив полученное уравнение:
\( 12х = 5(12 - х) \).
\( 12х = 60 - 5х \).
\( 17х = 60 \).
\( х = \frac{{60}}{{17}} \).
- Теперь, зная значение х, можем найти сторону СД: СД = 5 * x.
Итак, чтобы найти сторону СД трапеции, нужно умножить значение x (равное 60/17) на 5:
СД = 5 * (60/17) = 300/17 ≈ 17.65 см.
Ответ: сторона СД трапеции ≈ 17.65 см.