Основания трапеции равны 4 и 9, одна из её диагоналей равна 6. найдите площадь трапеции, если известно, что длины всех её сторон выражаются различными целыми числами.

Прямокутник АВСД, діагоналі АС та ВД перетинаються в т. О.
ОН - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника ВС (отже ОН - висота трикутника ВСО)
ОМ - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника АД (отже ОМ - висота трикутника АДО)
ОР - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника АВ (отже ОР - висота трикутника АВО)
ОК - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника СД (отже ОК - висота трикутника СДО)
Оскільки  Діагоналі прямокутника мають однакову довжину, а також  в точці перетину діляться навпіл, значить трикутник ВСО=трикутнику АДО та трикутник АВО=трикутнику СДО.
А це означає, що і висоти у попарно рівних трикутниках між собою рівні, а саме
ОК=ОР, а ОН=ОМ.
Нехай ОН=ОМ=Х см, тоді ОК=ОР=Х+5 см (по умові задачі сказано, що 
точка перетину діагоналей прямокутника лежить на відстані від більшої сторони на 5 см ближче, ніж від меншої).

У прямокутника протилежні сторони рівні.
АВ=СД=ОН+ОМ=Х+Х=2Х см
ВС=АД=ОР+ОК=(Х+5) +(Х+5)=2Х+10  см
Периметр = сумі довжин усіх сторін прямокутника
Периметр = АВ+ВС+СД+АД=44 см
Отже
2Х+(2Х+10) + 2Х+(2Х+10)=44
8Х+20=44
8Х=24
Х=3 см
Виходить, що
АВ=СД=2Х=2*3=6 см
ВС=АД=2Х+10 =2*3+10=6+10=16 см

Відповідь: сторони прямокутника АВ=СД=6 см та ВС=АД=16 см

Начертив это, вы увидите, что угол АДС = 60 град. Рассматривая треуг АДС, вы увидите, что он прямоуг. , и и угол ДСА = 30 град (то есть угол С в большом тр-ке АВС будет равен 60, раз это биссектриса) .
Итак в треуг АДС косинус 60 = 1/2, то есть отношение АД к ДС = 1/2, откуда АД=4. Раз ДС=8, тогда АС = корень из 48 (т. пифагора) . Поскольку угол С в тр. АВС равен 60 градусам, как мы установили, то косинус 60 = АС/ВС=1/2, а значит, ВС=2корня из 48.
Теперь в тр. АВС мы знаем 2 стороны и по Пифагору находим эту АВ.. .(2корня из 48) в квадрате минус (корень из 48)в квадрате = 4*48- 48 = 144, это АВ в квадрате. Извлекаем корень, и получаем 12.