Даны координаты вершин треугольника АВС: А(-2;0), В(0;5), С(3;-2).
Составить уравнения:
а) стороны АС;
Вектор АС = (3-(-2); -2-0) = (5; -2).
Уравнение АС: (х + 2)/5 = у/(-2) каноническое.
2х + 5у + 4 = 0 общее.
у = (-2/5)х - (4/5) с угловым коэффициентом.
б) высоты ВD;
Так как ВД это высота (перпендикуляр) к АС, то коэффициенты А и В в общем уравнении меняются на -В и А.
Уравнение ВД: -5х + 2у + С = 0 общее.
Для определения слагаемого С подставим координаты точки В.
-5*0 + 2*5 + С = 0, отсюда С = -10.
Уравнение ВД: -5х + 2у - 10 = 0 общее или с положительным коэффициентом перед х:
Уравнение ВД: 5х - 2у + 11 = 0 общее.
в) медианы АЕ.
Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.
Е = (В(0;5) + С(3;-2))/2 = (1,5; 1,5). А(-2;0)
Вектор АЕ = (3,5; 1,5).
Уравнение АЕ: (х + 2)/3,5 = у/1,5 или с целыми координатами направляющего вектора: (х + 2)/7 = у/3 каноническое.
Найти длину стороны АС и высоты ВD.
|AC| = √(5² + (-2)²) = √(25 + 4) = √29.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C| /√(A² + B²)
Подставим в формулу данные: В(0;5), AC: 2х + 5у + 4 = 0
d = |2·0+ 5·5 + 4| √(2² + 5²) = |0 + 25 + 4| /√(4 + 25) =
= 29 /√29 = √29 ≈ 5.38516.
Вычислить площадь данного треугольника.
Можно применить .
Есть сторона АС = √29 и высота ВД = 4√29/29.
S = (1/2)√29*√29 = 14,5.
Есть формула площади треугольника прямо по координатам вершин:
Площадь треугольника ABC
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 14,5.
Если угол при вершине боковых граней равен 30 градусов, то углы при основании их равны по 75 градусов.
Примем сторону основания за 1.
Тогда высота на боковое ребро h равна 1*cos(30°/2).
В этой задаче надо определить косинус половинного угла.
Для косинуса 15 градусов есть несколько вариантов.
Можно так: cos 15° = cos(60° - 45°).
Подставив данные, получим cos 15° = (√2 + √6)/4.
Можно так: cos 15° = √(1 + cos30°)/2 = √(1 + (√3/2))/2.
Подставив данные, получим cos 15° = (√(2 + √3))/2.
Можно и в таком варианте: cos 15° = (√3 + 1)/(2√2 ).
Угол между боковыми гранями равен плоскому углу между высотами к боковому ребру.
По формуле косинусов этот угол равен:
α = arc cos((h² - 1)/(2h²)).
Подставив данные, получаем α = 62,34790439 градусов.
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(-2;0), В(0;5), С(3;-2).
Составить уравнения:
а) стороны АС;
Вектор АС = (3-(-2); -2-0) = (5; -2).
Уравнение АС: (х + 2)/5 = у/(-2) каноническое.
2х + 5у + 4 = 0 общее.
у = (-2/5)х - (4/5) с угловым коэффициентом.
б) высоты ВD;
Так как ВД это высота (перпендикуляр) к АС, то коэффициенты А и В в общем уравнении меняются на -В и А.
Уравнение ВД: -5х + 2у + С = 0 общее.
Для определения слагаемого С подставим координаты точки В.
-5*0 + 2*5 + С = 0, отсюда С = -10.
Уравнение ВД: -5х + 2у - 10 = 0 общее или с положительным коэффициентом перед х:
Уравнение ВД: 5х - 2у + 11 = 0 общее.
в) медианы АЕ.
Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.
Е = (В(0;5) + С(3;-2))/2 = (1,5; 1,5). А(-2;0)
Вектор АЕ = (3,5; 1,5).
Уравнение АЕ: (х + 2)/3,5 = у/1,5 или с целыми координатами направляющего вектора: (х + 2)/7 = у/3 каноническое.
Найти длину стороны АС и высоты ВD.
|AC| = √(5² + (-2)²) = √(25 + 4) = √29.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C| /√(A² + B²)
Подставим в формулу данные: В(0;5), AC: 2х + 5у + 4 = 0
d = |2·0+ 5·5 + 4| √(2² + 5²) = |0 + 25 + 4| /√(4 + 25) =
= 29 /√29 = √29 ≈ 5.38516.
Вычислить площадь данного треугольника.
Можно применить .
Есть сторона АС = √29 и высота ВД = 4√29/29.
S = (1/2)√29*√29 = 14,5.
Есть формула площади треугольника прямо по координатам вершин:
Площадь треугольника ABC
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 14,5.
Если угол при вершине боковых граней равен 30 градусов, то углы при основании их равны по 75 градусов.
Примем сторону основания за 1.
Тогда высота на боковое ребро h равна 1*cos(30°/2).
В этой задаче надо определить косинус половинного угла.
Для косинуса 15 градусов есть несколько вариантов.
Можно так: cos 15° = cos(60° - 45°).
Подставив данные, получим cos 15° = (√2 + √6)/4.
Можно так: cos 15° = √(1 + cos30°)/2 = √(1 + (√3/2))/2.
Подставив данные, получим cos 15° = (√(2 + √3))/2.
Можно и в таком варианте: cos 15° = (√3 + 1)/(2√2 ).
Угол между боковыми гранями равен плоскому углу между высотами к боковому ребру.
По формуле косинусов этот угол равен:
α = arc cos((h² - 1)/(2h²)).
Подставив данные, получаем α = 62,34790439 градусов.