В равнобедренном треугольнике ABC угол B равен 110 градусов. Определите угол между прямой, содержащей высоту AA1, и прямой, содержащей биссектрису BB1. ответ запишите в градусах.
Объяснение:
Высота АА₁ падает на продолжение стороны ВС, т.к ∠АВС тупой. Тогда углом между между прямой, содержащей высоту AA₁, и прямой, содержащей биссектрису BB₁ будет∠АОВ₁ .
Угол АВС внешний для Δ АВА₁, значит ∠ВАА₁=110°-90°=20°.
Пусть в треугольнике ABC угол A равен a, угол C равен b, проведены биссектрисы AD и CE, которые пересекаются в точке O (см. рисунок). Рассмотрим треугольник AOC. Сумма его углов равна 180 градусам, тогда угол AOC равен 180-1/2BAC-1/2BCA=180-DAC-ECA=180-1/2(a+b). Угол, под которым пересекаются две прямые - это наименьший из углов, которые получаются при их пересечении. Докажем, что угол EOA будет меньше угла AOC, тогда угол EOA - угол, под которым пересекаются биссектрисы. Действительно, угол EOA является смежным с углом AOC, тогда он равен 1/2(a+b). Так как a+b<180, 1/2(a+b)<90 и 1/2(a+b)<180-1/2(a+b), то есть, какими бы ни были углы a и b, угол EOA всегда будет меньше угла AOC. Окончательный ответ - 1/2(a+b).
В равнобедренном треугольнике ABC угол B равен 110 градусов. Определите угол между прямой, содержащей высоту AA1, и прямой, содержащей биссектрису BB1. ответ запишите в градусах.
Объяснение:
Высота АА₁ падает на продолжение стороны ВС, т.к ∠АВС тупой. Тогда углом между между прямой, содержащей высоту AA₁, и прямой, содержащей биссектрису BB₁ будет∠АОВ₁ .
Угол АВС внешний для Δ АВА₁, значит ∠ВАА₁=110°-90°=20°.
ΔАВС-равнобедренный, углы при основании равны
∠ВАС=(180-110°):2=35° → ∠В₁АО=35°+20°=55°.
Δ АОВ₁ -прямоугольный , ∠АОВ₁=90°-55°=35°