Основою піраміди є трапеція, паралельні сторони якої дорінюють 4см і 10 см. Двогранні кути при ребрах основи дорівнюють 45 градусів, а об'єм піраміди дорівнює 280/3 см^3. Знайдіть висоту піраміди.

1a) В квадрате диагонали пересекаются под прямым углом, следовательно диагональные сечения этого параллелепипеда также взаимно перпендикулярны и перпендикулярны основаниям, так как параллелепипед прямоугольный. Следовательно, искомое сечение EFGH будет проходить через точку К параллельно диагональному сечению ВВ1D1D и представляет собой прямоугольник.
1б)  АС=BD =4√2 (диагонали квадрата со стороной 4).
АК:КС=1:3, значит АК=(1/4)*АС=(1/2)*АО. Тогда в треугольнике ABD отрезок EF - средняя линия и равен (1/2)*BD. Или EF=2√2.
В прямоугольном треугольнике АС1С гипотенуза АС1=4√6 (дано), катет
АС=4√2. Значит высота параллелепипеда равна СС1=√(96-32)=8. FG=CC1=8.
Тогда площадь сечения равна EF*FG=2*8=16√2 ед².
2a) В квадрате диагонали пересекаются под прямым углом, следовательно  сечения этого параллелепипеда, проходящие через диагонали боковых граней АА1В1В и DD1С1 также взаимно перпендикулярны и перпендикулярны этим боковым граням, так как параллелепипед прямоугольный. Следовательно, искомое сечение EFGH будет проходить через точку М параллельно сечению ADC1B1 и представляет собой прямоугольник.

2б)   D1С=DC1 =6√2 (диагонали квадрата со стороной 6).
D1M:MС=1:5, значит D1M=(1/6)*D1С=(1/3)*D1О. Тогда треугольники DDC1 и ED1H подобны с коэффициентом подобия 1/3 и отрезок EH  равен (1/3)*DС1. Или EН=(1/3)*6√2=2√2.
В прямоугольном треугольнике BD1D гипотенуза BD1=√88 (дано), катет
DD1=6. Значит диагональ основания параллелепипеда по Пифагору равна BD=√(88-36)=√52. Тогда  AD=√(BD²-AB²)= √(52-36)=4. EF=AD=4.
Площадь сечения равна EF*EH=4*2√2=8√2 ед².

Пирамида SАВС: боковые ребра SА=SВ=SС=6, ΔАВС в основании (АВ=ВС=АС=а), вершина S проецируется в центр основания О (центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан).
Опустим из вершины S перпендикуляр к стороне АС - это высота бок.грани SН, а также из вершины В - к стороне АС - это высота основания ВН. Получился угол SНВ, по условию tg SHB=2√11.
ОН - это есть радиус вписанной окружности ОН=а/2√3.
ОА - это есть радиус описанной окружности ОА=а/√3
Из прямоугольного ΔSОН найдем SО=ОН*tg SHB=а/2√3 * 2√11=а*√11/3
Из прямоугольного ΔSОА найдем SО=√(SA²-OA²)=√(36-a²/3)=√(108-a²)/3
Приравняем:
а*√11/3=√(108-a²)/3
11а²/3=(108-а²)/3
12а²=108
а²=9
а=3
ответ :3