Основою прямої призми, діагоналі якої дорівнюють 10 см і 16 см, є ромб. знайдіть сторону основы призми, якщо її висота дорівнює 4 см.

основой прямой призмы, диагонали которой равны 10 см и 16 см, является ромб. найдите сторону основы призмы, если ее высота равна 4 см.

R = 10см; R/h = 1/2

Объяснение:

Площадь полной поверхности цилиндра

S = 2πR² + 2πRh = 2πR(R + h) = 1884

Сокращаем на 2π = 6,28 и получаем R(R + h) =300

или R² + Rh = 300

Обозначим х = R и у = Rh

Тогда у = 300 - х²

При условии максимального объёма цилиндра

V = πR²h = π · R · Rh = π · x · y, то есть следует искать максимум функции

f(x) = x·у

f(x) = х · (300 - х²)

f(x) = 300x - x³

f'(x) = 300 - 3x²

f'(x) = 0

300 - 3x² = 0

x² = 100

x = 10(см)

Итак, R = 10см

y = Rh = 300 - 10² = 200

h = Rh/R = 200/10 = 20 (см)

Отношение R/h = 10/20 = 1/2

1) Объём конуса V = (1/3)π*R²*h, где R и h - радиус основания и высота конуса.  

По теореме Пифагора, R² + h²=L², откуда R² = (L²- h²) м².  

Тогда V = (π*( L² - h²)*h)/3 = (π/3)*( L²*h - h³) м³.  

Производная V'(h) = (π/3)*( L² - 3h²).  

Приравнивая её к нулю, приходим к уравнению (π/3)*( L² - 3h²) = 0.  

Нулю приравниваем второе выражение в скобках.

Отсюда находим h = √(( L²)/3) = L/√3 = 28,2/√3  ≈ 16,28128 см.

Так как значение h положительно, то найденная точка h= (L/√3)  является точкой максимума функции V(h).

Подставим значение h= (L/√3) в уравнение объёма:

V = (π/3)*( L²*(L/√3) - (L/√3)³) = (2πL3)/(9√3).

Значение Vmax = (2π*28,23)/(9/√3) ≈ 9039,0764  cм³.  

ответ: 9039,0764  cм³.

2) Площадь бака S = πR² + 2 πRh.

Выразим h через объём: V= πR²h, откуда h = V/πR².

Заменим h в формуле площади:  

S = πR² + 2πR(V/πR²) = πR² + (2V/R).

Находим производную функции площади по R²:

S’ = 2πR - (2V/R2) и приравниваем нулю.

2πR + (2V/R2) = 0, откуда находим  R = ³√(V/π) = ³√(17,576π/π) = 2,6 см.

ответ: S = (π*2,62) + (2*17,576π/2,6) = 63,7115 кв.ед.