Пусть треугольник ABC: AB = BC ; AA₁ , BB₁ и CC₁ медианы данного треугольника; O точка пересечения медиан. OM⊥AB, ON ⊥ CB. OM= ON =8 . Ясно что OB₁ ⊥ AC ( медиана BB₁ одновременно и высота) . OB₁ =5. На рисунке достаточно показать ΔABC, медиана BB₁ и OM ⊥AB). OB =2*OB₁ =2*5 =10 ; BB₁ =3*OB₁=3*5=15.(свойство медиан). Из ΔBMO по теореме Пифагора : BM =√(BO² -OM²) =√(10² -8²) =6. (BMO Пифагорова Δ: 2*3 ;2*4 ;2*5) ΔBB₁A ~ ΔBMO ⇒BB₁/BM=BA/BO =AB₁/OM. 15/6 =BA/10 =AB₁/8 ⇔{15/6 =BA/10 ;15/6=AB₁/8 . ⇒BA=25 ; AB₁ =20 . AC =2*20 =40.
пусть
длина медаины АА1=а
длина медины СС1=с
точка персечения О делит медианы на отрезки -свойство медиан
СО=2/3*с
ОС1=1/3*с
АО=2/3*а
ОА1=1/3*а
треугольники АОС1 и СОА1 - прямоугольные ,
т к медианы треугольника АА1 и СС1 пресекаются под углом 90 градусов
тогда по теореме Пифагора
СО^2 +OA1^2 =CA1^2 подставим сюда а , c CA1=16/2
(2/3*с)^2 +(1/3*а)^2= (16/2)^2 (1)
ОC1^2 +OA^2 =AC1^2 подставим сюда а , c AC1=12/2
(1/3*с)^2 +(2/3*а)^2= (12/2)^2 (2)
решим систему двух уравнений (1) и (2)
здесь а =4√3 с=2√33
теперь найдем сторону АС
по теореме Пифагора
АС^2= (2/3*c)^2 +(2/3*a)^2=(2/3)^2*(c^2+a*2)=(2/3)^2*((2√33)^2+(4√3)^2)=80
AC=√80 =4√5
ответ AC=4√5
Ясно что OB₁ ⊥ AC ( медиана BB₁ одновременно и высота) .
OB₁ =5.
На рисунке достаточно показать ΔABC, медиана BB₁ и OM ⊥AB).
OB =2*OB₁ =2*5 =10 ; BB₁ =3*OB₁=3*5=15.(свойство медиан).
Из ΔBMO по теореме Пифагора :
BM =√(BO² -OM²) =√(10² -8²) =6. (BMO Пифагорова Δ: 2*3 ;2*4 ;2*5)
ΔBB₁A ~ ΔBMO ⇒BB₁/BM=BA/BO =AB₁/OM.
15/6 =BA/10 =AB₁/8 ⇔{15/6 =BA/10 ;15/6=AB₁/8 .
⇒BA=25 ; AB₁ =20 . AC =2*20 =40.
ответ: 25 ,25 , 40.