Острый угол равнобедренной трапеции равен 60°. доказать, что основание вс = ad — ab.
доказательство. опустим из вершин трапеции высоты bm и cn на нижнее основание ad.
получим два прямоугольных треугольника abm и dcn, а также прямоугольник bcnm.
поскольку в прямоугольных треугольниках один угол равен 60°, то второй, согласно следствию из теоремы о сумме внутренних углов треугольника, равен 30°.
а мы знаем, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. т.е. ам= с/2.
то же самое и в правом треугольнике — nd = с/2.
получается, что нижнее основание можно представить в виде суммы трёх отрезков, а именно am, mn, nd, где am=nd=c/2.
mn=bc, или верхнему основанию.
отсюда можно написать mn=bc=ad — am — nd = ad — c/2 — c/2 = ad — ab.
мы доказали, что верхнее основание равно разности нижнего основания и боковой стороны.
Чертеж: Нарийсуй окружность, потом, например, слева от окр. точку A, от нее касательную (точку пересеч обозначь B), и из точки A секущую (точки пересечения с окр. обозначь (слева направо) C и D). Подпиши над AB: 10-(x+4); над AC: x; CD: x+4; AD: 2x+4.
Решение: Составим уравнение: (10-(x+4))^2=x*(2x+4)
(6-x)^2=2x^2+4x; 36-12x+x^2-2x^2-4x=0; x^2+16x-36=0; D=256-4*(-36)=400; корень из D = 20; x = (-16+20)/2=2; 10-(x+4)=6-x=4.
ответ: длина касательной 4 см.
Обозначим катеты треугольника АС = СВ = х.
По теореме Пифагора составим уравнение:
АС² + ВС² = АВ²
x² + x² = (5√2)²
2x² = 50
x² = 25
x = 5 см
ВС = 5 см
2. Так же, как и в первой задаче, треугольник равнобедренный.
Тогда ВС = АС = 10 см.
3. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
Пусть ВС = х, тогда АВ = 2х.
По теореме Пифагора составим уравнение:
АС² + ВС² = АВ²
12² + x² = (2x)²
144 + x² = 4x²
3x² = 144
x² = 48
x = √48 = 4√3 см
АВ = 2х = 8√3 см