Рассмотрим треугольник ABD. BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°. ∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса). Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников). Следовательно, AB=BD. Т.е. треугольник ABD - равнобедренный. BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника). Следовательно, AO=OD=AD/2=104/2=52. Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC. ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам. Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). S EDC= S EDB=(BE*OD)/2=(104*52)/2=52*52=2704 S ABE=(BE*AO)/2=(104*52)/2=2704 Т.е. S ABE=S EDC=S EDB=2704 Тогда, S ABС=3*2704=8112 AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы). S ABD=(AD*BO)/2=S ABC/2 (104*BO)/2=8112/2 BO=8112/104=78 Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора: AB^2=BO^2+AO^2 AB^2=78^2+52^2 AB^2=6084+2704=8788 AB=√8788=√169*52=√169*13*4=2*13*√13=26√13 BC=2AB=2*26√13=52√13 Рассмотрим треугольник AOE. OE=BE-BO=104-78=26 Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора: AE^2=AO^2+OE^2 AE^2=52^2+26^2=2704+676=3380 AE=√3380=√20*169=√169*5*4=13*2√5=26√5 Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем: BC/AB=CE/AE 52√13/26√13=CE/(26√5) 2=CE/(26√5) CE=52√5 AC=AE+CE=26√5+52√5=78√5 ответ: AB=26√13, BC=52√13, AC=78√5 как то так. рисунок внизу.
Пусть точка О - точка пересечения АД и ВЕ. В ΔАВД по условию ВО является биссектрисой и высотой, значит и медианой АО=ОД=АД/2=2, а этот треугольник - равнобедренный АВ=ВД. ВС=2ВД=2АВ По свойству биссектрисы ВС/ЕС=АВ/АЕ 2АВ/ЕС=АВ/АЕ ЕС=2АЕ АС=АЕ+ЕС=3АЕ Проведем из вершины В прямую, параллельную АС, до пересечения с продолжением медианы АД в точке М. ΔАДС и ΔМДВ равны по стороне (ВД=ДС) и 2 прилежащим углам (вертикальные углы <АДС=<МДВ, накрест лежащие углы <МВД=<АСД). Значит АС=ВМ=3АЕ. ΔАОЕ и ΔМОВ подобны по 2 углам: АО/ОМ=ЕО/ВО=АЕ/ВМ=1/3 ЕО/ВО=1/3 ВО=3ЕО ВЕ=ВО+ЕО=4ЕО ЕО=ВЕ/4=4/4=1 ВО=3 Из прямоугольного ΔАОВ: АВ²=АО²+ВО²=4+9=13 сторона АВ=√13 сторона ВС=2√13 Из прямоугольного ΔАОЕ: АЕ²=АО²+ЕО²=4+1=5, АВ=√5 сторона АС=3√5 ответ: √13, 2√13 и 3√5
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=104/2=52.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). S EDC= S EDB=(BE*OD)/2=(104*52)/2=52*52=2704
S ABE=(BE*AO)/2=(104*52)/2=2704
Т.е. S ABE=S EDC=S EDB=2704
Тогда, S ABС=3*2704=8112
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
S ABD=(AD*BO)/2=S ABC/2
(104*BO)/2=8112/2
BO=8112/104=78
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB^2=BO^2+AO^2
AB^2=78^2+52^2
AB^2=6084+2704=8788
AB=√8788=√169*52=√169*13*4=2*13*√13=26√13
BC=2AB=2*26√13=52√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=104-78=26
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE^2=AO^2+OE^2
AE^2=52^2+26^2=2704+676=3380
AE=√3380=√20*169=√169*5*4=13*2√5=26√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
52√13/26√13=CE/(26√5)
2=CE/(26√5)
CE=52√5
AC=AE+CE=26√5+52√5=78√5
ответ: AB=26√13, BC=52√13, AC=78√5
как то так. рисунок внизу.
В ΔАВД по условию ВО является биссектрисой и высотой, значит и медианой АО=ОД=АД/2=2, а этот треугольник - равнобедренный АВ=ВД.
ВС=2ВД=2АВ
По свойству биссектрисы ВС/ЕС=АВ/АЕ
2АВ/ЕС=АВ/АЕ
ЕС=2АЕ
АС=АЕ+ЕС=3АЕ
Проведем из вершины В прямую, параллельную АС, до пересечения с продолжением медианы АД в точке М.
ΔАДС и ΔМДВ равны по стороне (ВД=ДС) и 2 прилежащим углам (вертикальные углы <АДС=<МДВ, накрест лежащие углы <МВД=<АСД).
Значит АС=ВМ=3АЕ.
ΔАОЕ и ΔМОВ подобны по 2 углам:
АО/ОМ=ЕО/ВО=АЕ/ВМ=1/3
ЕО/ВО=1/3
ВО=3ЕО
ВЕ=ВО+ЕО=4ЕО
ЕО=ВЕ/4=4/4=1
ВО=3
Из прямоугольного ΔАОВ:
АВ²=АО²+ВО²=4+9=13
сторона АВ=√13
сторона ВС=2√13
Из прямоугольного ΔАОЕ:
АЕ²=АО²+ЕО²=4+1=5, АВ=√5
сторона АС=3√5
ответ: √13, 2√13 и 3√5