отношение длин параллельных сторон bc и ad трапеции abcd ровно 1:3. Диагонали bd и ac пересекаются в точке o. найдите отношения площадей треугольника aod и трапеции

Проведем радиусы от центра окружности О до точек касания В и С. И соедини центр окружности с точкой А.
рассмотрим получившиеся треугольники АВО и АСО, в них:
угол АВО = угол АСО = 90 гр. (св-во касательных) , следовательно, треугольники АВО и АСО прямоугольные. А чтобы доказать равенство двух прямоуг. треуг-ов достаточно найти 2 равных элемента:
- катет ОВ = катет ОС (радиусы окружности)
- ОА - общ. гипотенуза
из этого следует, что треугольники равны, следовательно все элементы этих треуг-ов равны. а следовательно равны и катеты АС и АВ
ч. т. д.

Опускаем высоту MN длиной h на снование, получаем прямоугольный треугольник MNO. Из его построения и по теореме Пифагора следует 
h^2+(KO-h)^2=(MO)^2 
Отсюда можем найти h 
h=KO/2±sqrt(2*MO^2-KO^2), 
а значит, и площадь параллелограмма. 
Отсюда, кстати, следует, что решение существует только если подкоренное выражение положительно, и при при MO=5 максимальная длина основания KO может быть приблизительно не более 7 ~ sqrt(50). 
Имеем 2 решения квадратного уравнения, и для предложенного значения KO=4sqrt(2): 
h1=sqrt(2)/2 
h2=7sqrt(2)/2 
Соответственно, площади параллелограмма равны 
s1=4 
s2=28