Отрезки AB и CD пересекаются в точке 0. Зная, что OAD=OBC, AO=OB, CD=32 см и AD=23 см, найдите длины отрезков BC и CO.​

1) Дано: ABCD - трапеция,∠А=90°, ∠С-∠В=48°.
Найти: ∠D, ∠С, ∠В
Решение: 1.Рассмотрим трапецию АВСD. ВА∫∫CD(по опр. трапеции) ⇒ сумма односторонних углов равна 180°(по св-ву парал. прям. и сек.). Пусть секущей будет DA, тогда ∠А+∠D=180° ⇒ ∠D=180°-90°=90°. Возьмем СВ как секущую, тогда ∠С+∠В=180°(по св-ву).
2. Получим систему:
∠С+∠В=180°
∠С-∠В=48°
Такое возможно, только если один из углов равен 114, а второй 66. (Найти можно методом подбора). Тогда ∠С=114°(т.к.он тупой), а ∠В=66°(т.к.он острый).
ответ: 90°, 114°, 66°
2) Дано: ABCD - прямоугл., ∠АВО=36°
Найти: ∠АОD
Решение:1.Рассмотрим BD и АС. Они пересекаются в точке О, при этом делятся пополам(по св-ву параллелогр.). Также диагонали равны(по св-ву прямоуг.)⇒ВO=ОА.
2.Рассмотрим ΔВОА: ВО=ОА ⇒ ΔВОА - равнобедр.(по опр.) ⇒ ∠ОВА=∠ВАО=36°(по св-ву равноб. Δ). По теореме о сумме углов треугольника найдем ∠ВОА: 180-36-36=108°.
3. ∠ВОА смежен с ∠АОD. То есть их сумма равна 180(по св-ву) ⇒ ∠AOD=180-108=72°
ответ: 72°

a) Параллельные отсекают от угла подобные треугольники.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

MBN~ABC, MN/AC=1/2, S(MBN)= 1/4 S(ABC)

EBF~ABC, EB/AB=1/3, S(EBF)= 1/9 S(ABC)

S(MEFN) =S(MBN)-S(EBF) =(1/4 -1/9)S(ABC) =5/36 S(ABC)

б) Площади треугольников с равным углом относятся как произведения прилежащих сторон.

S(DBK)/S(ABC) =DB*BK/AB*BC =DB/AB *BK/BC =1/3 *4/7 =4/21

S(KCM)/S(BCA) =KC*CM/BC*CA =3/7 *1/4 =3/28

S(MAD)/S(CAB) =MA*AD/CA*AB =3/4 *2/3 =1/2

S(DKM) =S(ABC)-S(DBK)-S(KCM)-S(MAD) =

(1 -4/21 -3/28 -1/2)S(ABC) =(84-16-9-42)/84 *S(ABC) =17/84 S(ABC)