отрезки AB и CD пересекаются в точке M, которая является серединой каждого отрезка. Докажите, что AMD = BMC

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. По Пифагору диагональ квадрата равна а√2, где а -сторона квадрата.
Опустим из точки m перпендикуляр на основание пирамиды. Он "упадет" на диагональ db и разделит ее половину do пополам (так как dm=ms). Итак, md=2, dh=√2/2. По Пифагору mh=√(4-(1/2))=√3,5. Из подобия треугольников hmb и opb имеем: op/mh=ob/bh. Тогда  op=√3,5√2/(√2+√2/2)= 2√7/3√2 =28/18 (возвели числитель и знаменатель в квадрат) = 14/9.  ap - перпендикуляр к  mb, то есть искомое расстояние (так как ao - проекция ар, а db - проекция mb на плоскость основания  и эти проекции перпендикулярны).
По Пифагору ap = √(ao²+op²) =√2+14/9 = 4√2/3. 
ответ: расстояние от a до прямой mb = 4√2/3.

Проведём высоту треугольника ABC из вершины С к основанию и обозначим точку на основании М

Высота равностороннего треугольника при известной стороне 16 см будет составлять:
см.

Высота первого треугольника h у нас будет образовывать сторону второго треугольника CPM.

Угол с второго треугольника СРМ является прямым, поскольку через вершину С первого треугольника проведён перпендикуляр к плоскости треугольника АВС.

Находим строну РМ треугольника СРМ из соотношения:

Причём:
CМ = h = 8√3 см,
СР = 20 см.
PM=24.331 см
Угол с = 90°

Для решения задачи по этим данным необходимо найти величину угла < PMC = m. (m малое)

Из теоремы синусов:

Выводим формулу относительно Sin m:

Поскольку угол с является прямым (90°) и значение его синуса равно 1 (единице), то формула для нахождения величины угла m упрощается:

Подставляем значения в выведенную формулу и находим значения синуса угла m:

Находим величину угла m:

ответ: Угол между плоскостями АВС и АРВ составляет = 55.286°