Пусть ABC - прямоугольный треугольник c гипотенузой AB, катетами BC и АС=18 см. Угол CAB = 30 градусов, катет BC противолежащий углу 30 градусов равен половине гипотенузы. AB = 2* BC
Срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. ⇒ СМ - срединный перпендикуляр, Н - середина АВ, и АН=ВН, ⇒
СН - медиана и биссектриса ∆ АСВ. ∠НСВ=60°
СН противолежит углу 30° ⇒ СН=СВ:2=а/2
СЕ=а/2, СН=а/2 ⇒∆ НСЕ- равносторонний, НЕ=а/2.
∠СМЕ=∠МЕН=30°
∆ МНЕ - равнобедренный. ⇒ МН⊥АВ, МН=ЕН=а/2.
* * *
Или короче:
Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника является центром описанной окружности.
МA=МC=МB - радиусы описанной окружности. .
Треугольник АМВ - равнобедренный и равен ∆ АСВ по трём сторонам. Острые углы при А и В этих треугольников равны и имеют градусную меру (180°-120°):2=30°
Поскольку угол МНА=90°, то из прямоугольного ∆ АНМ катет НМ=АМ•sin30°=a/2 (или, если больше нравится, то по свойству катета, противолежащего углу 30°, он равен половине гипотенузы АМ - равен а/2)
Угол CAB = 30 градусов, катет BC противолежащий углу 30 градусов равен половине гипотенузы. AB = 2* BC
По теореме Пифагора:
AB² = AC² + BC²
BC² = AB² - AC²
BC² = (2* BC)² - AC²
BC² = 4* BC² - AC²
3 * BC² = AC²
BC² = AC² / 3
BC² = 18² / 3 = 324 / 3 = 108
BC = √108 = √(6*6*3) = 6√3 (см)
AC = 2 * 6√3 = 12√3 (см)
Угол ABC = 180 - 90 - 30 = 60 градусов Угол ACB - прямой. Биссектриса (BD) делит угол ABC пополам. Угол DBC = 30 град, угол BDC = 60 град ⇒ треугольники ABC и BDC подобны по трем углам.
У подобных треугольников стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
BC AC
=
DC BC
6√3 12√3
=
DC 6√3
Свойство пропорции - произведение крайних членов равно произведению средних
6√3 * 6√3 = DC * 12√3
108 = DC * 12√3
DC = 108 / 12√3
DC = 9 / √3 = 9√3 / 3 = 3√3 ≈5,2 (см)
AD = AC - DC
AD = 18 - 3√3 ≈ 18 - 5,2 ≈ 12,8 (см)
Биссектриса острого угла треугольника делит бОльший катет на отрезки 12,8 см и 5,2 см
Расстояние от точки до прямой - длина перпендикулярного отрезка, проведенного между ними.
В равнобедренном ∆ АСВ углы при А и В равны (180°-120°):2=30°
К и Е - середины АС и ВС соответственно.
След. АК=КС=СЕ=ВЕ=а/2
КЕ║АВ по свойству средней линии.
∠СКЕ=∠СЕК=30° (соответственные углам А и В при пересечении параллельных КЕ и АВ секущими).
В четырехугольнике СКМЕ углы при К и Е равны 90° ( МК и МЕ - перпендикуляры)
. Сумма углов четырехугольника 360°. ⇒ ∠КМЕ=360°-2•90°-120°=60°.
∠ЕКМ=∠КЕМ=90°-30°=60°
∆ МЕК- равносторонний.
Срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. ⇒ СМ - срединный перпендикуляр, Н - середина АВ, и АН=ВН, ⇒
СН - медиана и биссектриса ∆ АСВ. ∠НСВ=60°
СН противолежит углу 30° ⇒ СН=СВ:2=а/2
СЕ=а/2, СН=а/2 ⇒∆ НСЕ- равносторонний, НЕ=а/2.
∠СМЕ=∠МЕН=30°
∆ МНЕ - равнобедренный. ⇒ МН⊥АВ, МН=ЕН=а/2.
* * *
Или короче:
Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника является центром описанной окружности.
МA=МC=МB - радиусы описанной окружности. .
Треугольник АМВ - равнобедренный и равен ∆ АСВ по трём сторонам. Острые углы при А и В этих треугольников равны и имеют градусную меру (180°-120°):2=30°
Поскольку угол МНА=90°, то из прямоугольного ∆ АНМ катет НМ=АМ•sin30°=a/2 (или, если больше нравится, то по свойству катета, противолежащего углу 30°, он равен половине гипотенузы АМ - равен а/2)