Отрезки АС и ВD пересекаются так, что АВ=ВС и угол DАС равен углу DСА. Доказать, что отрезки ВD и АС перпендикулярны.

Обратим внимание на отношение сторон треугольника АВС.  
АВ:ВС:АС=3:4:5. Это отношение сторон египетского треугольника. ⇒  
  ∆ АВС - прямоугольный.  
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.  
S ∆ АВС=12*16:2=96 см² 
Высота из вершины В для треугольников АВК и СВК общая.  
Отношение площадей треугольников с равной высотой равно отношению их оснований.  
S ∆ ABC: S ∆ABK=20:5=4⇒ 
S ∆ ABK=96:4=24 см² 
S ∆ ABC: S ∆ CBK=20:15=4/3 
S ∆ CBK=96:4*3=72 см²   
или   
 S ∆ CBK=S ∆ ABC - S ∆ ABK=96-24=72 см² 
------- 
Площадь ∆ АВС можно найти по формуле Герона, или предварительно найдя высоту ∆ АВС.  В результате решения ответ получим тот же.  

В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям сумма острых углов равна 90º. Найдите площадь трапеции, если ее основания 2 и 18.
---------
Диагональ ВD делит трапецию на два прямоугольных треугольника.  
Сумма  острых углов  АВСD равна 90º ⇒  
∠ВАD+∠ВСD=90º  
В прямоугольном ∆ АВD  
∠ВАD+∠АВD=90º  ⇒ 
∠АВD= ∠ВСD  ⇒ 
прямоугольные ∆ АВD и ∆ ВСD подобны по равному острому углу.  
Из подобия треугольников следует отношение: 
АD:ВD=ВD:ВС 
ВD²=АD*ВС=18*2=36 
ВD=6 
ВD- высота трапеции 
S=BD*(AD+BC):2 
S=6*(18+2):2=60 (ед. площади)