Отрезок bd высота треугольника abc , ab = 5√2 см cd = √11 см. найти длинную стороны bc . угол b 45°

1) Возможно, тут и как-то по-другому нужно доказывать, но так тоже всё верно:
, как диагонали равных квадратов, значит Δ - равнобедренный, О - середина АС, значит - медиана, биссектриса и высота, то есть ⊥
ЧТД

2) Можно по достаточному условию перпендикулярности прямой и плоскости:
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
⊥ , ⊥ , значит ⊥ , и перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе , значит ∠
ЧТД

Можно по теореме о трёх перпендикулярах:
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Здесь ещё проще: АВ проведена через основание наклонной , - проекция на плоскость АВС и ⊥, значит ⊥ и ∠
ЧТД

"Средняя" сторона пусть равна а, меньшая а - d, большая а + d. 

Правильный треугольник такого же периметра имеет все стороны а, то есть его площадь равна a^2*√3/4. Площадь исходного треугольника равна 3/5 этой площади, то есть S = a^2*3√3/20; 

Подставляем стороны в формулу Герона

S^2 = (3*a/2)*(a/2 - d)*(a/2)*(a/2 + d) = (3*a^2/4)*(a^2/4 - d^2); 

Получается соотношение

(a^2*3√3/20)^2 = (3*a^2/4)*(a^2/4 - d^2);

a^4*27/400 = (3*a^2/4)*(a^2/4 - d^2);

a^2*9/100 = a^2/4 - d^2;

16a^2/100 = d^2; 

a*2/5 = d;

Поэтому стороны равны

a*3/5; a; a*7/5; их отношение можно записать так 3:5:7;