Отрезок MN параллелен основаниям трапеции ABCD BC=3, MN=7, CN:ND=2:3. 1)Чему равно AD, 2) если при этом угол А+уголD=90°, то чему равно расстояние между серединами оснований

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Проведем высоту ромба РН через точку О пересечения диагоналей (центр ромба).
ВD=10, ВО=5, РН=DM=8, ОН=4.
НВ=3 (так как треугольник ОНВ - Пифагоров)
ОН - высота из прямого угла и делит гипотенузу так, что АН*НВ=ОН² (свойство).  Отсюда
АН=16/3=5и1/3. Тогда АВ=АН+НВ =5и1/3+3=8и1/3.
Или так: из треугольника DMB по Пифагору:
МВ=√(BD²-DM²)= √(100-64)=6.
AM²=AD²-DM² (по Пифагору). АМ=АВ-ВМ=АВ-6.
AD=АВ.  => (АВ-6)²=АВ²-64 => 12AB=100,
АВ=100/12 = 8 и 1/3.
ответ: сторона ромба равна 8и1/3 ед.

2.Площадь    треугольника S=(1/2)*a*h.
h=√(10²-6²)=8 (по Пифагору).
S= (1/2)*12*8=48ед².
r=S/p = 48/16= 3 ед. (р - полупериметр)
R=abc/4S = 10*10*12/192=6,25 ед.

Предлагаю  следующий доказательства:
Возьмем внутри выпуклого многоугольника  произвольную точку  q.
От  этой  точки проведем прямую к каждой вершине  и получим. n треугольников. Каждая прямая  делит  внутренние углы многоугольника (фk) на 2 угла. То  сумма   всех образованных  углов равна  сумме углов  данного  многоугольника. Сумма двух соседних углов   равна.
180-qn  где qn-углы при  вершине q. То  сумма  всех углов равна.
S=(180-q1)+(180-q2).......+(180-qn)=180*n -(q1+q2+q3....+qn)
Сумма   всех углов при вершине q  равна  полному углу  360
То  сумма углов  S=180*n-360=180(n-2)
Чтд.