Під час переміщення правильний трикутник ABC переходить у трикутник A1 B1 C1. Чи може який небудь із кутів трикутника A1 B1 C1 дорівнювати 90°?

Площадь полной поверхности пирамиды (обозначим её МАВСD) состоит из суммы площадей всех граней. Противоположные боковые грани равны по трём сторонам. Так как МО перпендикулярна плоскости основания, а ВD⊥АВ и CD, то ОВ – проекция наклонной МВ. По т.о 3-х перпендикулярах МВ⊥АВ.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам ⇒. ОВ=1,5.Высота пирамиды МО⊥ОВ.  Из ∆ МОВ по т.Пифагора МВ=√(МО²+ОВ²)=√(4+2,25)=2,5Ѕ(АМВ)=МВ•АВ:2=2,5•4:2=5 м²Ѕ(MCD)=S(AMB) ⇒Ѕ(MCD)+S(AMB)=10 м²Найдём высоту второй пары боковых граней. а) Высота DHпрямоугольного ∆ BDH (в основании) равна произведению катетов, делённому на гипотенузу. DH=DB•DC:BC=3•4:5=2,4 мПроведем ОК⊥ВСВO=ОD ⇒ ОК - средняя линия ∆ВDH и равна половине DH.ОК=1,2 мОК - проекция наклонной МК. ⇒ По т.ТПП отрезок МК⊥ВС и является высотой ∆ ВМСб) Из прямоугольного ∆ МОК по т.Пифагора МК=√(MO²+OK²)=√(4+1,44)=√5,44√5,44=√(544/100)=(2√34):10=0,2√34 S(MBC)=BC•MK:2=0,5•5•0,2√34=0,5√34 м² S(AMD)=S(MBC)⇒ S(AMD)+S(MBC)=2•0,5√34=√34 м²S(ABCD)=DB•AB=3•4=12 м²Площадь полной поверхности MABCD:2•S(AMB)+S(ABCD)+2•S(MBC=10+12+√34=(22+√34)м²

Центр описанной окружности треугольника лежит в точке пересечения его срединных перпендикуляров. Срединные перпендикуляры равностороннего треугольника - его высоты.
Следовательно, радиус описанной окружности для равностороннего треугольника – точка пересечения его высот. Высоты правильного треугольника еще биссектрисы и медианы, и все они пересекаются в одной точке. 
Точка пересечения медиан треугольника ( любого) делит их в отношении 2:1, считая от вершины. 
Отсюда: радиус описанной окружности равностороннего треугольника равен 2/3 его высоты.
Все углы равностороннего треугольника равны 60°
h=2√3•sin60°=2√3•√3/2=3⇒
R=3•2/3=2
-------
По т.синусов получим тот же результат.