Підсумкова контрольна робота і варіант
1.дано площину ата прямокутник abcd. серед даних тверджень укажіть неправильне: в
площині а може належати тільки одна вершина прямокутника;
площина можуть належати дві вершини прямокутника, и нном
в
ощині і можуть належати лише три вершина прямокутника;
площині аможе не належати жодна з вершин прямокутника; номля
б
+ - эс
рис. 1
2.користуючись зображенням куба abcda,b,c,d, укажіть градусну міру кута між площиною авсі
і площиною abb,
а б в г д
3. користуючисьзображенням куба abcda,b,c,d, установіть
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
відповідність між кутам
(1-4) та їхніми градусними мірами (а-д)
| 1 кут між прямими aa, і dc1 1a 0°
| 2 кут між прямими bd і dc, б 30°
з кут між прямими ab, і а, d в 45
4 кут між прямими вв і dd |г 60°
д 90°
4. дано трикутник mnp . площина, паралельна
прями mn, перетинає сторону мр трикутника в точці а, а сторону np в точці в. знайдіть довжину
відрізка ав , якщо mn = 15 см, ma : ap = 2: 1.
5. з точки к до площини в проведено дві похилі — kp i kd. знайдіть відстань від точки к до
площини в якщо kd – kp=2 см, а довжини проекцій похилих дорівнюють 9 см і 5 см.
Я отвечу только на второе
Доказательства в объяснении.
Объяснение:
1. Угол КАВ - угол между касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине градусной меры дуги АВ, заключённой между его сторонами. Вписанный угол АСВ опирается на эту же дугу АВ, а вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, ∠АСВ = ∠КАВ, что и требовалось доказать.
2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то ∠АВК =∠ВАС. ∠АСВ = ∠КАВ (доказано выше).
По сумме внутренних углов треугольников АВС и КАВ имеем:
∠АВС = 180 - (∠АСВ + ∠ВАС)
∠АКВ = 180 - (∠КАВ + ∠АВК) =>
∠АВС = ∠АКВ. => ∠АВК = ∠АКВ =>
Треугольник КАВ - равнобедренный, так как углы при основании ВК равны. Что и требовалось доказать.
3. Треугольники АСВ и КАВ подобны по 2 признаку подобия (по двум углам) с коэффициентом подобия k = АС/АВ. (Отношение соответственных сторон треугольников).
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Sabc/Sabk = k² = АС²/АВ².
По теореме косинусов в тр-ке АВС найдем:
АВ²=2АС²-2АС²·Cosα = 2АC²·(1-Cosα).
Тогда k²=АС²/(2АC²·(1-Cosα)) = 1/(2·(1-Cosα)). =>
к² зависит только от угла α, то есть
отношение площадей зависит только от величины угла АСВ.
Что и требовалось доказать.
, а биссектриса к основанию ( а не к боковой стороне) совпадает с высотой и медианой.
Извините, не прочитал, что в равностороннем. Для равнобедренного рассуждение такое:
Это вытекает из того, что биссектриса делит треугольник на два равных ( по первому признаку, т.е. по двум сторонам и углу между ними). В этих треугольниках напротив равных углов -равные стороны: отрезки на которые биссектриса делит основание. Значит она медиана. Два угла с вершиной на середине основания тоже равны. А так как они смежные т их сумма равна 180 градусам, то и они равны 90 градусам. Значит биссектриса совпадает с высотой
В равностороннем - то же рассуждение для любой стороны.
.