Периметр параллелограмма АВСD равен 60√3, а длины его сторон относятся как 2:3. Из вершины тупого угла В опущена высота на меньшую сторону; точка К – основание высоты. Найдите площадь четырехугольника АВКD, если тупой угол параллелограмма равен 120°.

Обозначим эти пропорции как 2х и 3х. Зная периметр параллелограмма составим уравнение:

2(2х+3х)=60√3

2×5х=60√3

10х=69√3

х=60√3/10

х=6√3

Тогда АВ=СД=2×6√3=12√3

ВС=АД=3×6√3=18√3

Высота ВК делит параллелограмм, образуя прямоугольный треугольник ВСК. В нём ВК и СК - катеты, а ВС - гипотенуза. Так как сумма односторонних углов параллелограмма составляет 180°, то угол С=180-120=60°

Сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому угол СВК=90-69=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому

СК=½×ВС=18√3/2=9√3

Найдём ВК по теореме Пифагора:

ВК²=ВС²-СК²=(18√3)²-(9√3)²=324×3-81×3=

=972-243=729; ВК=√729=27

ВК=27

Найдём S∆ВСК по формуле: S=½×BK×CK=

=½×9√3×27=121,5√3

Теперь найдём площадь параллелограмма по формуле:

S=СД×ВК=12√3×27=324√3

Теперь найдём площадь четырёхугольника АВКД:

Sавкд=Sпарал–Sвск=

=324√3-121,5√3=202,5√3

ОТВЕТ: Sавкд=202,5√3