Перпендикулярно высоте BD треугольника Проведена прямая, пересекающая стороны АВ и ВС в точках Ми Р соответственно. Найдите АВ и отношение площадей треугольников МРВ и АВС, если известно, что ВМ= 7 см, ВР = 9 см, РС = 18 см.​

Обозначим: Точки касания вписанной окружности с АВ - К, с СВ -М, с АС- Р. АР=АК,  ВМ=ВК. Сл-но треугольники АОР=АОК, ВОК=ВОМ. Известна площадь треугольника АОВ, которая состоит из треугольников АОК и ВОК. Значит сумма площадей АОР и МОВ тоже равна 13. Площадь АВС по условию=30.  30-13-13=4. Это площадь квадрата СРОМ, сторона которого равна радиусу вписанной окружности. Отсюда радиус =2. Теперь можно вычислить гипотенузу, площадь треугольника АОВ=1/2*АВ*2  1/2*АВ*2=13  АВ=13.  а²+b²=13²  1/2ab=30. Решаем систему уравнений. Выразим из второго b через а, b=60/а и подставляем в первое уравнение . а²+(60/а)²=169  Получим биквадратное уравнение а^4-169a^2+3600=0. Введем новую переменную t=a². Решаем квадратное уравнение, получим t=25. Сл-но а=5, b=60/5=12. ответ: стороны треугольника 5, 12, 13.

См. рис.1
Треугольники ВКС  и AKD подобны по двум углам:
угол СВК равен углу BDA- внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AВ  и секущей BD.
угол ВСК равен углу CAD-внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AВ  и секущей АС.
Из подобия треугольников СК:АК=ВС:AD=4:9.
Пусть СК=х, тогда АК=9х/4
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ВКС: ВК²=ВС²-КС²=16-х²
Из прямоугольного треугольника АВК: АВ²=ВК²+АК²=16-х²+81х²/16=16+65х²/16.
Из прямоугольного треугольника АВС: АС²=АВ²+ВС²
(х+9х/4)²=16+65х²/16+16,
(13х/4)²-65х²/16=32,
104х²/16=32,
52х²=256
х²=256/52
Тогда АВ²=16+(65·256)/(52·16)=36
АВ=6
По теореме Пифагора из треугольника СНD (см. рисунок 2):
CD²=5²+6²=√61
Продолжим стороны трапеции до пересечения в точке Е
Треугольники ВСЕ и СНД подобны по двум углам.
ВЕ:СН=4:5  ⇒ВЕ=4,8
Середина АВ-точка М. АМ=МВ=3. ВМ=4,8+3=7,8
В треугольнике  СНD sin HСВ=5/√61
sin ВЕС=sin HCB=5/√61
Из треугольника ВМТ: МТ=ВМ·sin ВЕС=7,8·5√61=39/√61