Прямые, проходящие через середины сторон треугольника и перпендикулярные к ним, называются срединными перпендикулярами.
Вы наверняка уже умеете делить отрезок пополам с циркуля и линейки. Здесь применяется тот же метод. Из вершин треугольника как из центров чертятся полуокружности так, чтобы они пересекались по обе стороны прямых, содержащих стороны треугольника.
Прямая, проходящая через точки пересечения полуокружностей, перпендикулярна стороне и делит её пополам.
Таким образом строятся три срединных перпендикуляра. Они пересекаются в одной точке и являются центром окружности, описанной около треугольника.
У остроугольного треугольника точка их пересечения находится внутри треугольника, у тупоугольного - вне его, у прямоугольного - на середине гипотенузы.
Теорема о свойствах равнобедренного треугольника. В любом равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают. Доказательство. Оба эти свойства доказываются совершенно одинаково. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС. Пусть ВВ1 - биссектриса этого треугольника. Как известно, прямая BB1 является ось симметрии угла АВС. но в силу равенства AB = BC при той симметрии точка А переходит в С. Следовательно, треугольники ABB1 и CBB1 равны. Отсюда все и следует. Ведь в равных фигурах равны все соответствующие элементы. Значит, ÐBAB1 = ÐBCB1. Пункт 1) доказан. Кроме этого, AB1 = CB1, т. е. BB1 - медиана и ÐBB1A = ÐBB1C = 90°; таким образом, BB1 также и высота треугольника ABC.
Прямые, проходящие через середины сторон треугольника и перпендикулярные к ним, называются срединными перпендикулярами.
Вы наверняка уже умеете делить отрезок пополам с циркуля и линейки. Здесь применяется тот же метод. Из вершин треугольника как из центров чертятся полуокружности так, чтобы они пересекались по обе стороны прямых, содержащих стороны треугольника.
Прямая, проходящая через точки пересечения полуокружностей, перпендикулярна стороне и делит её пополам.
Таким образом строятся три срединных перпендикуляра. Они пересекаются в одной точке и являются центром окружности, описанной около треугольника.
У остроугольного треугольника точка их пересечения находится внутри треугольника, у тупоугольного - вне его, у прямоугольного - на середине гипотенузы.
В любом равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.
Доказательство. Оба эти свойства доказываются совершенно одинаково. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС.
Пусть ВВ1 - биссектриса этого треугольника.
Как известно, прямая BB1 является ось симметрии угла АВС. но в силу равенства AB = BC при той симметрии точка А переходит в С.
Следовательно, треугольники ABB1 и CBB1 равны. Отсюда все и следует. Ведь в равных фигурах равны все соответствующие элементы. Значит, ÐBAB1 = ÐBCB1. Пункт 1) доказан. Кроме этого, AB1 = CB1, т. е. BB1 - медиана и ÐBB1A = ÐBB1C = 90°; таким образом, BB1 также и высота треугольника ABC.