Планиметрия ( егэ-2018.) 1) на стороне вс треугольника авс и на продолжении стороны ав за вершину в расположены точки м и к соответственно, причем вм: мс = 4: 5 и вк: ав = 1: 5. прямая км пересекает сторону ас в точке n. найти отношение сn: аn. ( егэ-2018.) 2) в треугольнике авс ав = с, вс = а, ас = в. в каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису сd? ( егэ-2018.) 3) в ∆авс, площадь которого равна 6, на стороне ав взята точка к, делящая эту сторону в отношении ак: вк=2: 3, а на стороне ас взята точка l, делящая ас в отношенииal: lс = 5: 3. точка q пересечения прямых ск и вl отстоит от прямой ав на расстояние1,5.найти сторону ав. ответ: (егэ-2016). 4) на отрезке bd взята точка с. биссектриса bl равнобедренного треугольника abc с основанием вс является боковой стороной равнобедренного треугольника bld с основанием bd. а) докажите, что треугольник dcl равнобедренный. б) известно, что cos abc = . в каком отношении прямая dl делит сторону ав? (егэ-2016). 5) на отрезке bd взята точка с. биссектриса bl равнобедренного треугольника abc с основанием вс является боковой стороной равнобедренного треугольника bld с основанием bd. а) докажите, что треугольник dcl равнобедренный. б) известно, что cos abc = . в каком отношении прямая dl делит сторону ав?
Есть треугольник АВС, на стороне АВ за вершину А находятся точки М и К соответственно. ВМ:МС = 4:5 и ВК:АВ = 1:5. Прямая КМ пересекает сторону АС в точке N. Нужно найти отношение СN:АN.
Для решения данной задачи воспользуемся соотношением теоремы Безу:
если отношения делящих сторон AB:BC = p:q, то (AN/NC) = (BP/PQ) = (AQ/QC), где точка Q - точка пересечения прямой CN и прямой, параллельной стороне АВ, проходящей через точку B, и точка Р - точка пересечения прямой AN и прямой, параллельной стороне ВС, проходящей через точку К.
Дано ВМ:МС = 4:5 и ВК:АВ = 1:5, так как ВК:АВ = 1:5, то KB = AV/6 и VK = AV/6 * 5 = AV/6 * AB/AC.
Аналогично, так как ВМ:МС = 4:5, то MC = AV/9 * 4 * AC/AC = AV/9 * 4 * BC/AC = AV/9 * 4 * AB/AC.
Используя теорему Безу:
(AN/NC) = (BP/PQ) = (AQ/QC),
где BP = VK и PQ = KM.
Итак, BP = VK = AV/6 * AB/AC,
PQ = KM = KC - MC = AV/9 * 4 * AB/AC - AV/9 * 4 * BC/AC.
Тогда (AN/NC) = (BP/PQ),
(AN/NC) = (AV/6 * AB/AC) / (AV/9 * 4 * AB/AC - AV/9 * 4 * BC/AC).
Сокращая AB/AC получаем 6/4 и 9/4,
(AN/NC) = (AV/6) / [ (AV * 9 - AV * 4 * BC) / 4 ].
Упрощаем дробь, домножая числитель на 4 и знаменатель на 6:
(AN/NC) = (4AV) / [ (9AV - 4AV * BC) ].
(AN/NC) = (4) / [ (9 - 4 * BC) ].
Таким образом, отношение СN:АN равно 4/(9 - 4 * BC).
2) В треугольнике АВС дано, что АВ = С, ВС = А, АС = В. Нужно найти отношение, в котором центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису CD.
Для решения данной задачи воспользуемся свойствами биссектрисы треугольника и правилом секущих.
В треугольнике АВС биссектриса CD делит сторону АС пропорционально отношению сторон AV и VC. То есть (AC/CD) = (AV/VC).
Также известно, что радиус вписанной окружности равен АС/(2 * cos(А/2)).
Подставим значение радиуса вписанной окружности и упростим уравнение, используя теорему косинусов:
AC/(2 * cos(А/2)) = (AC/CD) * VC.
AC сокращается, и остается:
1/(2 * cos(А/2)) = (1/CD) * VC.
Теперь найдем значение cos(А/2), используя теорему косинусов:
cos(А/2) = (AC^2 + BC^2 - AB^2)/(2 * AC * BC).
Подставим значение cos(А/2) и упростим уравнение:
1/(2 * (AC^2 + BC^2 - AB^2)/(2 * AC * BC)) = (1/CD) * VC.
Упростив дробь и сокращая AC:
(2 * AC * BC)/(AC^2 + BC^2 - AB^2) = CD/VC.
Окончательно, отношение, в котором центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису CD, равно (2 * AC * BC)/(AC^2 + BC^2 - AB^2).
3) В треугольнике АВС с площадью 6 взята точка К на стороне АВ, делящая ее в отношении АК:КB=2:3, и точка L на стороне АС, делящая ее в отношении АL:LC=5:3. Пересечение прямых СК и ВL находится на расстоянии 1,5 от отрезка АВ. Нужно найти сторону АВ.
Дано, что площадь треугольника АВС равна 6, поэтому можем составить следующие уравнения, используя площадь треугольника и соотношение площадей подобных фигур:
(АК/KB) = 2/3,
(AL/LC) = 5/3,
(БСК)/(ВЛК) = (КАВ)/(ЛАВ) = (CK * KB)/(VK * KL) = (СК * КЛ)/(ВL * ВК) = ((АВ - АК) * КЛ)/((АВ - АЛ) * ВК) = (6 - АК) * КЛ)/((6 - АЛ) * ВК).
Также известно, что расстояние от точки пересечения прямых СК и ВL до отрезка АВ равно 1,5:
(CK * KB)/(VK * KL) = 1,5.
Можем записать уравнение для этого выражения:
(6 - АК) * КЛ)/((6 - АЛ) * ВК) = 1,5.
Решаем систему уравнений и находим АВ:
(АК/КВ) = 2/3,
(АЛ/ЛС) = 5/3,
(6 - АК) * КЛ)/((6 - АЛ) * ВК) = 1,5.
Ответ: сторона АB = АК + КВ.