Площі а проходить через вершини А і С трикутника АВС та точку И-середину стороною АВ. Доведіть, що центр кола, вписаного в трикутник АВС, належить площини а.​

Я в качестве угла величиной 150° принял угол(ABC) ,
т.е .  угол(ABC) =α =150°;
обозначим  AB =а=6 см  и  BC=6√3см  ,высота  BB₁=H  ,
тогда площадь полной поверхности призмы будет
S = 2absinα +2(a+b)*H=2*6*6√3in150° +2(6+6√3)*H  =
= 2*6*6√3in(180°-30°) +12(1+√3)*H  = 2*6*6√3in30° +12(1+√3)*H =
 =2*6*6√3*1/2 +12(1+√3)*H = 36√3+12(1+√3)*H
остатся  определить высоту призмы H
Из  Δ B₁BD :
H =BD*tq30°=sqrt(a² +b² - 2abcos30° )*tq30° =sqrt(6²+(6√3)² -2*6*6√3*√3/2)*√3=
= 6*√3/3 = 2√3  поэтому окончательно получаем
S = 36√3+12(1+√3)*2√3  = 72 +60√3  (см²)  или 12(6+5√3)

Пирамида правильная:
основание -- равносторонний треугольник
боковые грани -- равнобедренные треугольники
сечение -- равнобедренный треугольник с основанием = (a/2),
подобный боковой грани с коэффициентом (1/2), т.к. его боковые стороны тоже являются средними линиями соотв.треугольников
апофема ST = 2*TO, т.к. угол STO=60 градусов по условию
ТО -- это треть высоты (медианы) основания
высота равностороннего треугольника = a√3 / 2
TO = a√3 / 6
ST = a√3 / 3
высота сечения = a√3 / 6
площадь сечения = a² √3 / 24